线性代数 第一章总结.doc

第一章 行列式 线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。 本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法则。 本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。 § 1 二阶、三阶行列式 一、内容提要 1．二阶行列式的定义 其中称为行列式的元素，的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。 二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即： = 其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。 2．三阶行列式的定义 三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示： 其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。 二、例题分析 例1 求解二元线性方程组 解： 由于系数行列式 ， 所以方程组有唯一解为： ， 。 例2 计算行列式 解 例3 计算行列式 ；； ； 解： 由对角线法则有： ；； ； 特别地: ； 三、小结 对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。 由例3得结论： （1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。 （2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。 § 2 全排列及其逆序数 一、内容提要 排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用表示. 。 逆序 在一个排列中，若，则称这两个数组成一个逆序. 逆序数 排列中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为。 排列中，考虑元素，如果比大的且排在前面的元素有个，则称元素的逆序数是。记为。 奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。 偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。 特别地，标准排列1，2，···，n的逆序数。 规定，标准排列是偶排列。 二、例题分析 排列中，考虑比大，且排在前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即 （前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+ ··· ··· + （前面比大的数的个数） ； 同样，考虑比小，且排在后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即 （后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ··· ··· + （后面比小的数的个数）。 例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。 （1）5 3 2 1 4； （2）n (n–1) ···2 1； （3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k。 解：（1）5 3 2 1 4 ，，，，。 因此，。此排列为奇排列。 （2）n (n–1) ···2 1 ，，，···，，，。 因此，。 当时，排列为偶排列； 当时，排列为奇排列。 （3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k ， ， ， ， ， ······， ······， ， ， 。 因此， 。 当k为偶数时，排列为偶排列； 当k为奇数时，排列为奇排列。 例5 设的逆序数为k，问排列的逆序数是多少？ 解：若在排列中，后面比小的数共有个，则在排列中，前面的数共有个，前面比大的数共有个。由已知有 。 所以排列的逆序数为 。 三、小结 求排列的逆序数的方法： （1）（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+ ··· ··· + （前面比大的数的个数） ； （2）（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ··· ··· + （后面比小的数的个数）。 § 3 n阶行列式的定义 一、内容提要 由n2个元素组成的记号 称为n阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的