线性代数第一章复习.pptx

1第一章行列式§1.1二阶、三阶行列式§1.2n阶行列式§1.3行列式的性质§1.4行列式按行（列）展开§1.5克莱姆法则

1.1二阶、三阶行列式2历史点滴:1行列式来源于线性方程组的求解21683年,日本数学家关孝和(SekiTakazu,1642-1768)在其专著解伏题之法中提出了行列式的概念与算法31750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704-1752)提出了线性方程组的行列式解法—“克拉默法则”41772年,法国数学家范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735-1851)首先将行列式理论系统化,被誉为行列式理论的奠基人5现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)于1841年引进的6

二阶行列式3即实线连接的元之积减去虚线连接的元之积

三阶行列式4行标列标

注1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．三阶行列式的对角线法则5对角线法则只适用于二阶与三阶行列01三阶行列式含3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,三项为正,三项为负．02

例题与讲解601例2：计算三阶行列式：02解：03按对角线法则，

1.2n阶行列式7排列：由自然数1，2，······，n组成的一个有序数组称为一个n级(元)排列。自然排列：n级排列123…n称为自然排列。2141314不是排列不是排列n级排列中每个数必须出现一次，n个数中不能有重复数，不能有大于n的数543215级排列31424级排列

逆序数计算：从最左面的数开始算，计算每个数的左边比它大的数的个数，全部加起来。如排列32514的逆序数为N（32514）=2+1+2+0+0=5逆序与逆序数：在一个n级排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序；一个排列中出现的逆序的总数，称为这个排列的逆序数，通常记为N(i1i2…in)。排列的逆序数为偶数的称偶排列，排列的逆序数为奇数的称奇排列。

对换：在一个n级排列j1j2…ji…jk…jn中，若仅将其中两个数ji、jk对调,其余不动，可得一个新的排列j1j2…jk…ji…jn,这样的变换称为一次对换。定理：一次对换改变排列的奇偶性。即奇偶性不同则与若

对换性质的证明10思路:先证相邻元素的对换,再证明一般情况。1.对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当ab时,经对换后b的逆序数增加1,a的逆序数不变;当ab时,经对换后b的逆序数不变,a的逆序数减少1;2.设排列为,现在对换a与b。次相邻对换次相邻对换即总共经过2m+1次相邻对换,每次都要改变奇偶性。所以,对换改变奇偶性..

奇、偶排列个数相等11定理2：在所有的n级排列中（n1）,共有n!个n级排列，奇排列与偶排列的个数相等,各为n!/2。证明:设在n!个n级排列中（n1）,奇排列共有p个,偶排列共有q个,则p+q=n! 现对每一个奇排列施行一次对换，即 偶排列奇排列由此得p个偶排列,而偶排列数共有q个,故p?q;同理,对q个偶排列各做一次对换,可得q个奇排列,故有q?p;所以p=q。又因为p+q=n!,故p=q=n!/2。.

二阶、三阶行列式共性n阶行列式的定义12有n!(n=2、3)项。01为所有不同行不同列的n个元素乘积的代数和。02每项符号取决于：当这一项中元的行标按自然数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排列时为负,为偶排列时为正。03

定义1.213n阶行列式是所有取自不同行,不同列的n个数的乘积即n阶行列式的一般项为其中构成一个n级排列，当的代数和.各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排列时为负,为偶排列时为正。取遍所有n级排列，则的行列式表示的代数和中所有的项。

说明1、阶行列式是项的代数和;2、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式3、的符号为

01例102定理：n阶行列式D=|aij|的一般项可记为：03其中04均为n级排列。

行列式定义的等价表示形式16列下标顺序排列行下标顺序排列据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些特殊的行列式(如有较多零元素的行列式),而直接计算一般的行列式时,可能会较烦琐。0102

特殊行列式17上三角行列式下三角行列式对角行列式左三角行列式右三角行列式.

练习18用行列式的定义计算下面的行列式

1.3行列式的性质1923145要达到上述目的,先对行列式基本性质进行研究。经恒等变形先将一般行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法则展开计算。