(线性代数)第一章 矩阵.ppt

例7. 设D = a11 … a1m am1 … amm D1 = … … , 证明: D = D1D2. 证明: 对D1施行ri+krj , 把D1化为下三角行列式 = p11 pm1 … pmm … . . . = p11 … pmm , D2 = , b11 … b1n bn1 … bnn … … a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … , am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n cn1 … cnm bn1 … bnn a11 … a1m am1 … amm D1 = … … 对D2施行ci+kcj 这类运算, 把D2化为下三角形行列式: b11 … b1n bn1 … bnn D2 = … … = q11 qn1 … qnn … . . . = q11 … qnn , ? ? §1.6 方阵的行列式 第一章 矩阵 于是对D的前m行施行上述ri+krj 运算, 再对D 的后n列施行上述施行ci+kcj 运算, 可得: p11 pm1 … pmm c11 … c1m q11 cn1 … cnm qn1 … qnn . … … … … = . . . . . 0 = p11 … pmm q11 … qnn a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … D = am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n cn1 … cnm bn1 … bnn =D1D2. §1.6 方阵的行列式 第一章 矩阵 E(i(k)) = 第i行 1 k 1 1 第 i 列 1 (E(i(k)))?1 = E(i(1/k))) E ri?k E(i(k)) (2) §1.5 方阵的逆矩阵 第一章 矩阵 E(i,j(k)) = 第i行 1 … … k 1 1 …… 第j行 第i列 第j列 1 E(i,j(k))?1 = E(i,j(?k)) E ri+krj E(i,j(k)) (3) §1.5 方阵的逆矩阵 第一章 矩阵 1.初等矩阵的可逆性 §1.5 方阵的逆矩阵 第一章 矩阵 命题. 初等矩阵都可逆, 且E(i,j)?1 = E(i,j), (E(i(k)))?1 = E(i(1/k)), (E(i,j(k)))?1= E(i,j(?k))). 定理1.2.对m?n矩阵A, 总存在行最简形阵U和m阶初等阵P1,P2,…, Ps ,使得 P1P2…Ps A = U . 问题：可逆方阵A的行最简形矩阵U=？ E ? 可逆方阵A = Ps?1 … P2?1 P1?1. 定理1.5 n阶方阵A可逆 ? A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2, …, Ps ,使得A = P1P2…Ps . 推论. A ? B ?存在初等阵使B=P1…Ps AQ1…Qt ?存在可逆矩阵P,Q使得B=PAQ. §1.5 方阵的逆矩阵 第一章 矩阵 定理1.6 对m?n矩阵B, ? B ?存在初等阵使B=P1…Ps Q1…Qt ?存在可逆矩阵P,Q使得B=P Q. 设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为 行简化阶梯阵——单位矩阵E. A ? ? ? ? ? … ? ? ? E (A E)? ? ? ? ? … ? ? ? (E ?) P1(A E) Pl Pl-1…P2P1(A E) P1A P2P1A Pl Pl-1…P2P1A (E, Pl Pl-1…P2P1) ? =Pl Pl-1…P2P1 = A?1 ? (A E) 初等行变换 (E A?1) ? 相当于左乘A?1 (A B) 初等行变换 (E ) ? 相当于左乘A?1 A?1B AX=E?X=A?1 AX=B?X=A?1B 例3. 设A = 1 2 3 2 2 1 3 4 3 , 求A?1. . r3 ? r2 ? 1/2r2 r1 ? 2 r2 r2?5/2r3 r1+2r3 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 解: §1.5 方阵的逆矩阵 第一章 矩阵 A?1 = 1 3 ?2 ?3/2 ?3 5/2