线性代数第一章 线性方程组与矩阵 习题课 shu.ppt

第1章 矩阵的初等变换与线性方程组习题课;矩阵的初等变换;一、初等变换;初 等 变 换;反身性;3. 初等矩阵;(2) 以数 k (非零)乘某行(列), 得初等矩阵E(i(k)).　　　;　　(3) 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去, 得初等矩阵E(ij(k))).;　　经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵,其特点是：可画出一条阶梯线,线的下方全为0；每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元．;　　经过初等行变换, 行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵, 其特点是: 非零行的第一个非零元为1, 且这些非零元所在列的其它元素都为0．;　　对行阶梯形矩阵再进行初等列变换, 可得到矩阵的标准形, 其特点是: 左上角是一个单位矩阵, 其余元素都为0．;　　所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合, 称为一个等价类, 标准形 F 是这???等价类中形状最简单的矩阵．;7. 矩阵的秩;行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．;二、线性方程组;　　齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵, 写出通解．;上页;上页;三、初等矩阵与可逆矩阵的关系;一、求矩阵的秩;求矩阵的秩有下列基本方法;　　第一种方法当矩阵的行数与列数较高时, 计算量很大，第二种方法则较为简单实用．;　　注意　在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形．;　　当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解．;解法一　系数矩阵A的行列式为;从而得到方程组的通解;解法二 用初等行变换把系数矩阵 A 化为阶梯形;上页;三、求逆矩阵的初等变换法;例3 求下述矩阵的逆矩阵．;　　注意：用初等行变换求逆矩阵时, 必须始终 用行变换, 其间不能作任何列变换. 同样地, 用初等列变换求逆矩阵时, 必须始终用列变换,其间不能作任何行变换．;四、解矩阵方程的初等变换法;例4;上页