2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-第九章 第5节 第2课时-椭圆的简单几何性质.doc

第2课时　椭圆的简单几何性质 考点一　椭圆的性质 【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右顶点分别为A且以线段A为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切则C的离心率为(　　) B. C. D. (2)已知椭圆E：＋＝1(ab0)的右焦点为F短轴的一个端点为M直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A两点.若|AF|＋|BF|＝4点M到直线l的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是(　　) B. C. D. 解析　(1)以线段A为直径的圆是x＋y＝a直线bx－ay＋2ab＝0与圆 所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a整理为a＝3b即＝ ∴e＝＝＝＝＝ (2)设左焦点为F连接F则四边形AFBF为平行四边形. ＋|BF|＝4 ∴|AF|＋|AF＝4＝2. 设M(0)，则，∴1≤b2. 离心率e＝＝＝＝. 答案　(1)　(2) 规律方法　求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a的值利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a的齐次方程(或不等式)借助于b＝－消去b转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【训练1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点是椭圆C：＋＝1(ab0)的左焦点分别为C的左、右顶点.P为C上一点且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点则C的离心率为(　　) B. C. D. (2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F过F作x轴的垂线与C相交于A两点与y轴相交于点D若AD⊥F则椭圆C的离心率等于________. 解析　(1)设M(－c)，则E的中点为D 则D又B三点共线 所以＝ 所以a＝3c所以e＝ (2)由题意知F(－c)，F2(c，0)，其中c＝因为过F且与x轴垂直的直线为x＝c由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点A，B.因为AB平行于y轴且|F＝|OF所以|F＝|DB|即D为线段F的中点所以点D的坐标为又AD⊥F所以k＝－1即＝－1整理得＝2ac所以(a－c)＝2ac又e＝且＜e＜1所以＋2e－＝0解得e＝(e＝－舍去). 答案　(1)　(2) 考点二　椭圆性质的应用 【例2】 (1)(2018·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点离心率e＝且它的一个焦点与抛物线y＝－4x的焦点重合则此椭圆方程为(　　) ＋＝1 ＋＝1 ＋y＝1 ＋y＝1 (2)已知点F是椭圆x＋2y＝2的左、右焦点点P是该椭圆上的一个动点那么|＋的最小值是(　　) 解析　(1)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)由已知可得抛物线的焦点为(－1)，所以c＝1又离心率e＝＝解得a＝2＝a－c＝3所以椭圆方程为＋＝1故选 (2)椭圆的标准方程为＋y＝1因为原点O是线段F的中点所以＋＝2即|＋＝2|＝椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长即|PO|的最小值为b＝1所以|＋的最小值为2. 答案　(1)　(2) 规律方法　利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)在求与椭圆有关的一些量的范围或者最值时经常用到椭圆标准x，y的范围离心率的范围等不等关系. (2)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时要理清它们之间的内在联系. 【训练2】 (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1则椭圆长轴长的最小值为(　　) C.2 D.2 (2)(2017·全国Ⅰ卷)设A是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120则m的取值范围是(　　) (0，1]∪[9，＋∞) .(0，]∪[9，＋∞) (0，1]∪[4，＋∞) .(0，]∪[4，＋∞) 解析　(1)设a分别为椭圆的长半轴长短半轴长半焦距 依题意知当三角形的高为b时面积最大 所以＝1＝1 而2a＝2＝2 (当且仅当b＝c＝1时取等号)故选 (2)①当焦点在x轴上依题意得 且＝ ∴0m3且m≤1则0m≤1. 当焦点在y轴上依题意m3且＝ 综上的取值范围是(0]∪[9，＋∞). 答案　(1)　(2) 考点三　直线与椭圆(多维探究) 命题角度1　弦及中点弦问题 【例3－1】 已知椭圆＋y＝1 (1)过A(2)的直线l与椭圆相交求l被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程. 解　(1)设弦的端点为P(x)，Q(x2，y2)，其中点是M(x). ①－②得＝－＝－ 所以－＝ 化简得x－2x＋2y2y＝0(包含在椭圆＋y＝1内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－因此所求直线方程是y－＝－化简得2x＋4y－3＝0. 规律方法　弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立消元利用根与系2)