2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-第九章 第8节-曲线与方程.doc

第8节　曲线与方程 最新考纲　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程. 知 识 梳 理 曲线与方程的定义 一般地在直角坐标系中如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x)＝0的实数解建立如下的对应关系： 那么这个方程叫做曲线的方程这条曲线叫做方程的曲线. 求动点的轨迹方程的基本步骤 [常用结论与微点提醒] 曲线C是方程f(x)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x)＝0的解”的充分不必要条件. 曲线的交点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解两条曲线就有几个交点；方程组无解两条曲线就没有交点. 诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝0是点P(x)在曲线f(x)＝0上的充要条件.(　　) (2)方程x＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　) (4)方程y＝与x＝y表示同一曲线.(　　) 解析　对于(2)由x(x＋y－1)＝0即x＝0或x＋y－1＝0所以方程表示两条直线错误；对于(3)前者表示方程后者表示曲线错误；对于(4)曲线y＝是曲线x＝y的一部分错误. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 已知M(－1)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2则动点P的轨迹是(　　) 双曲线 .双曲线左支 一条射线 .双曲线右支 解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|所以不正确应为以N为端点沿x轴正向的一条射线. 答案　 3.(2018·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　) 两条直线 .两条射线 两条线段 .一条直线和一条射线 解析　原方程可化为或－1＝0即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线. 答案　 4.已知A(－2)，B(1，0)两点动点P不在x轴上且满足∠APO＝∠BPO其中O为原点则P点的轨迹方程是(　　) (x＋2)＋y＝4(y≠0) .(x＋1)＋y＝1(y≠0) (x－2)＋y2＝4(y≠0) D.(x－1)＋y＝1(y≠0) 解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|设P(x)，则＝2整理得(x－2)＋y＝4(y≠0)故选 答案　 5.过椭圆＋＝1(ab0)上任意一点M作x轴的垂线垂足为N则线段MN中点的轨迹方程是________ 解析　设MN的中点为P(x)， 则点M(x)在椭圆上＋＝1 即＋＝1(ab0). 答案　＋＝1(ab0) 考点一　直接法求轨迹方程 【例1】 (1)(2018·豫北名校联考)已知△ABCB(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3则顶点A的轨迹方程为________ (2)(2018·大同模拟)与y轴相切并与圆C：x＋y－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________ 解析　(1)设A(x)，由题意可知D又∵|CD|＝3＋＝9即(x－10)＋y＝36由于A三点不共线点A不能落在x轴上即y≠0点A的轨迹方程为(x－10)＋y＝36(y≠0). (2)若动圆在y轴右侧设与y轴相切且与圆x＋y－6x＝0外切的圆P(x，y)(x0)，则半径长为|x|因为圆x＋y－6x＝0的圆心为(3)，所以＝|x|＋3则y＝12x(x0) 若动圆在y轴左侧则y＝0即圆心的轨迹方程为y＝12x(x0)或y＝0(x0). 答案　(1)(x－10)＋y＝36(y≠0)　(2)y＝12x(x0)或y＝0(x0) 规律方法　直接法求 (1)关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤但最后的证明可以省略. (2)注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性. 【训练1】 (2018·聊城模拟)在平面直角坐标系中为坐标原点(1，0)，B(2，2)，若点C满足＋t(－)其中t∈R则点C的轨迹方程是________ 解析　设C(x)，则由＝＋t(－)－＝t(－)所以＝t即(x－1)＝t(1)，故消去t得y＝2(x－1)即2x－y－2＝0. 答案　2x－y－2＝0 考点二　相关点(代入)法求轨迹方程 【例2】 (1)(2017·银川模拟)动点A在圆x＋y＝1上移动时它与定点B(3)连线的中点的轨迹方程是________ (2)(2018·武威模拟)设F(1)，M点在x轴上点在y轴上且＝2⊥，当点P在y轴上运动时点N的轨迹方程为________ 解析　(1)设中点的坐标为(x)，则圆上的动点A的坐标为(2x－3)，所以(2x－3)