2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-第九章 第6节-双曲线.doc

第6节　 最新考纲　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 知 识 梳 理 双曲线的定义 平面内与两个定点F(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F且大于零)的点的轨这两个定点叫双曲线的焦点两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF－|MF＝2a}＝2c其中a为常数且a0： (1)若ac时则集合P为双曲线； (2)若a＝c时则集合P为两条射线； (3)若ac时则集合P为空集. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a0) －＝1 (a0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－aR x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A(－a)，A2(a，0) A1(0，－a)(0，a) 渐近线 y＝x y＝± 离心率 e＝(1，＋∞) 实虚轴 线段A叫做双曲线的实轴它的长＝2a；线段B叫做双曲线的虚轴它的长|B＝2b；a叫做双曲线的实半轴长叫做双曲线的虚半轴长 的关系 c＝a＋b [常用结论与微点提醒] 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 2.离心率e＝＝＝ 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直离心率等于 诊 断 自 测 思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　) (2)平面内到点F(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　) (3)方程－＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　 (4)双曲线－＝λ(m0)的渐近线方程是－＝0即＝0.(　　) 解析　(1)因为||MF－|MF＝8＝|F表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知应为双曲线的一支而非 (3)当m＞0＞0时表示焦点在x轴上的双曲线而m＜0＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ (2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线且该双曲线两焦点间的距离为4则n的取值范围是(　　 A.(－1) B.(－1) C.(0，3) D.(0，) 解析　∵方程－＝1表示双曲线(m2＋n)·(3m－n)0解得－m由双曲线性质知＝(m＋n)＋(3m－n)＝4m(其中c是半焦距)2c＝2×＝解得|m|＝1－1n3. 答案　 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点是C上一点且PF与x轴垂直点A的坐标是(1)，则△APF的面积为(　　) B. C. D. 解析　由c＝a＋b＝4得c＝2所以F(2)， 将x＝2代入x－＝1得y＝±3所以|PF|＝3.又A的坐标是(1)，故△APF的面积为(2－1)＝ 答案　 4.(2017·北京卷)若双曲线x－＝1的离心率为则实数m＝________. 解析　由题意知＝e＝3则m＝2. 答案　2 (选修2－1改编)经过点A(3－1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 解析　设双曲线的方程为：x－y＝λ(λ≠0)把点A(3－1)代入得λ＝8故所求方程为－＝1. 答案　－＝1 考点一　双曲线的定义及其应用 【例1】 (1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝x，一个焦点为F(0－)点A()，点P为双曲线第一象限内的点则当点P的位置变化时周长的最小值为(　　) ＋3＋3 (2)(2018·西安调研)已知圆C：(x＋3)＋y＝1和圆C：(x－3)＋y＝9动圆M同时与圆C及圆C相外切则动圆圆心M的轨迹方程为____________. 解析　(1)由已知得双曲线方程为－＝1设双曲线的另一F′，则|PF|＝|PF′|＋4的周长为＋|PA|＋|AF|＝＋4＋|PA|＋3当F′三点共线时＋|PA|有最小值为|AF′|＝3故△PAF的周长的最小值为10. (2)如图所示设动圆M与圆C及圆C分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件 得|MC－|AC＝|MA| |MC2|－|BC＝|MB| 因为|MA|＝|MB| 所以|MC－|AC＝|MC－ 即|MC－|MC＝|BC－|AC＝2 所以点M到两定点C1的距离的差是常数且小于＝6. 又根据双曲线的定义得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C的距离大与C的距离小) 其中a＝1＝3则b＝8. 故点M的轨迹方程为x－＝1(x≤－1). 答案　(1)　(2)x－＝1(x≤－1) 规律方法　1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线进而根据要求可求出曲线方程； 在“焦点三角形”中常利用正弦定理、余弦定理经常结合||PF－|PF＝2a运用平方的方法建立与|PF的联系. 【训练1】 (1)已知F为双C：x－y＝2的左、右焦点点P在C上＝2|PF则＝