人教A版高中数学(必修第一册)题型归纳讲与练专题4.1 指数【六大题型】（解析版）.doc
专题4.1指数【六大题型】
【人教A版（2019）】
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【题型1根式与分数指数幂的互化】 2
【题型2指数式的化简】 4
【题型3根据指数式求参】 5
【题型4指数式的给条件求值问题】 6
【题型5指数幂等式及幂的方程问题】 7
【题型6指数幂等式的证明】 8
【知识点1根式与分数指数幂】
1．根式
(1)n次方根的定义与性质
定义
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*
性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示；
(2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为；
(3)负数没有偶次方根；
(4)0的任何次方根都是0，记作
(2)根式的定义与性质
定义
式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
性质
，
2．分数指数幂
整数指数幂
指数
幂中
的指
数从
整数
拓展
到了
有理
数
分数指数幂
正整数指数幂：
正数的正分数指数幂：
负整数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.
【题型1根式与分数指数幂的互化】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（????）
A．?x=
C．(xy
【解题思路】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.
【解答过程】A中，?x=?x
B中，x?
C中，xy?3
D中，6y
故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）化简?a3
A．?a25 B．?a
【解题思路】运用am
【解答过程】因为?a，所以?a≥0即a≤0
又因为?a=?a
所以?a3a
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（????）
A．?x=
C．x?1
【解题思路】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【解答过程】对于A选项：?x=?x
对于B选项：6y
对于C选项：x?
对于D选项：当x0时，3(?x)234=
故选：C.
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（????）
A．3a·
C．(3b
【解题思路】根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案
【解答过程】对于A，由?a有意义可知a≤0，而当a0时，a5
对于B，当x0时，x24=
对于C，(3
对于D，(a?b)?
故选：D.
【知识点2指数幂的运算】
1．有理数指数幂的运算
(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
①(a0,r,s∈Q)；
②(a0,r,s∈Q)；
③(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).
(2)指数幂的几个常用结论：
①当a0时，0；
②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；
③若(a0,且a≠1)，则r=s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂.
2．无理数指数幂及实数指数幂
(1)无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.
整数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
实数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a0
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a0
n∈Z,a∈R,b∈R
r∈R,且a0,b0
【题型2指数式的化简】
【例2】（2023·全国·高一假期作业）1120
A．?13 B．13 C．
【解题思路】利用指数幂的运算性质求解．
【解答过程】解：原式＝1?1?4
故选：D．
【变式2-1】（2023秋·高一课时练习）化简a3b23ab2
A．ba B．ab C．a
【解题思路】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
【解答过程】a3b2
故选：B.
【变式2-2】（2023春·江西·高一校考期末）计算2?12
A．1 B．22 C．2 D．
【解题思路】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
【解答过程】2?
故选：B.
【变式2-3】（2023·全