动量与角动量算符.ppt

将其变为 可解出 由波函数单值性要求 故 必须是整数 可见本征值 是量子化的分立谱。利用归一化条件 得归一化的波函数为 * 1. 动量算符 §3.2 动量算符和角动量算符 本征方程 则 预备知识 （2）动量本征方程 （3.2.1） 求解 采用分离变量法，令： 代入动量本征方程（3.2.1） 且等式两边除以该式，得： （3.2.2） 解之得： 于是： 这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。 （3.2.3） 则具有连续谱的本征函数(动量的本征函数)是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。 连续谱 如果力学量算符的本征值是连续的 即 这就是连续谱本征函数的归一化. 如果取 |c|2 (2π?)3=1则 ψp(r就可 归一化为 δ-函数。 归一化系数的确定 (3.2.4） (3.2.5） 据上所述，具有连续谱的动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。 2.角动量算符 （1）角动量算符的形式 根据量子力学基本假定 量子力学角动量算符为: 经典力学中，若动量为 p，相对点O 的 位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是： (I) 直角坐标系 角动量平方算符 (3.2.10） (3.2.11） 直角坐标与球坐标之间的变换关系 ? x z 球 坐 标 r ? y 这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ) (II) 球坐标 对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： (3.2.12） 可得： (3.2.13） 则角动量算符 在球坐标中的 表达式为： (3.2.14） (3.2.15） 角动量算符(方法2) 在直角坐标系,位置矢量和梯度算符可表示为 在球坐标系,位置矢量和梯度算符可表示为 所以 其中利用 其中利用 所以 所以 首先看角动量的 分量 的本征函数 设其本征函数为 对应的本征值为 本征方程为 L2的本征值问题 L2 的本征值方程可写为： 为使 Y(?,?) 在? 变化的区域(0, π)内是有限的， 则必须满足：? = ?（? + 1), 其中 ? = 0, 1, 2, ... 其中 Y(?,?) 是 L2 属于本征值 ?2 的本征函数。此方程就是球谐函数方程 (3.2.18）