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第 20 卷第 3 期 大 学 数 学 . 20, №. 3
V o l
2004 年 6 月 COLL EGE M A TH EM A T ICS Jun. 2004
利用矩阵的初等变换求方阵的特征值
赵立新, 曾文才
(华南农业大学 理学院 应用数学系, 广州 510642)
[摘 要] 高阶方阵的特征值的求得, 需求解一元高次方程, 这往往有一定的难度. 本文依据矩阵的初等
变换的一些良好性质, 介绍两种利用矩阵的初等变换化简方阵的特征值的计算的方法.
[ 关键词] 特征值; 初等变换; 初等矩阵
( )
[ 中图分类号] O 1512 [ 文献标识码] C [ 文章编号] 2004
1 引 言
矩阵的稳定性讨论, 在预测、控制等方面有着广泛的应用, 而A n 的计算, 可利用对角化后的矩阵得
到简化, 即寻找一个可逆矩阵 , 使得 - 1 = , 其中 为对角形矩阵. 于是可得 = - 1 , 从而
P P A P A P P
n n - 1
A = P P . 在这个对角化的过程中, 中的元素即为矩阵A 的特征值, 而高阶矩阵的特征值的计算,
会遇到求解高次方程的问题, 往往比较难解决. 本文将介绍两种求矩阵特征值的简便方法.
2 方法一
2 1 基本原理
我们知道, 要求一个 阶方阵 的特征值, 就要求解一个一元 次方程 - = 0. 方程左边的行
n A n A E
列式的计算, 因为有未知数 , 而使得计算繁琐. 另一方面, 一元 次方程的求解, 也不是一件容易的事.
n
a 11 0 … 0 a 11 a 12 … a 1n
a21 a22 … 0 0 a22 … a2n
而下三角形矩阵 或上三角形矩阵 的特征值容易求得, 即为主对
… … 0 … … …
an 1 an2 … ann 0 0 … ann
角线上的各元素. 能否利用矩阵的初等变换, 将方阵A 变换成三角形矩阵, 而保持其特征值不变呢? 这
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