利用矩阵的初等变换求方阵的特征值.pdf

第 20 卷第 3 期 大　学　数　学 . 20, №. 3 V o l 2004 年 6 月 COLL EGE M A TH EM A T ICS Jun. 2004 利用矩阵的初等变换求方阵的特征值 赵立新, 　曾文才 (华南农业大学 理学院 应用数学系, 广州 510642) 　　[摘　要] 高阶方阵的特征值的求得, 需求解一元高次方程, 这往往有一定的难度. 本文依据矩阵的初等 变换的一些良好性质, 介绍两种利用矩阵的初等变换化简方阵的特征值的计算的方法. [ 关键词] 特征值; 初等变换; 初等矩阵 ( ) [ 中图分类号] O 1512　　[ 文献标识码] C　　[ 文章编号] 2004 1　引　　言 矩阵的稳定性讨论, 在预测、控制等方面有着广泛的应用, 而A n 的计算, 可利用对角化后的矩阵得 到简化, 即寻找一个可逆矩阵 , 使得 - 1 = , 其中 为对角形矩阵. 于是可得 = - 1 , 从而 P P A P A P P n n - 1 A = P P . 在这个对角化的过程中, 中的元素即为矩阵A 的特征值, 而高阶矩阵的特征值的计算, 会遇到求解高次方程的问题, 往往比较难解决. 本文将介绍两种求矩阵特征值的简便方法. 2　方法一 2 1　基本原理 我们知道, 要求一个 阶方阵 的特征值, 就要求解一个一元 次方程 - = 0. 方程左边的行 n A n A E 列式的计算, 因为有未知数 , 而使得计算繁琐. 另一方面, 一元 次方程的求解, 也不是一件容易的事. n a 11 0 … 0 a 11 a 12 … a 1n a21 a22 … 0 0 a22 … a2n 而下三角形矩阵 或上三角形矩阵 的特征值容易求得, 即为主对 … … 0 … … … an 1 an2 … ann 0 0 … ann 角线上的各元素. 能否利用矩阵的初等变换, 将方阵A 变换成三角形矩阵, 而保持其特征值不变呢? 这