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空气动力学方程：层流和湍流模型详解之两方程模型

1空气动力学基础

1.1流体动力学基本概念

流体动力学是研究流体（液体和气体）在静止和运动状态下的行为的学科。

在空气动力学中，我们主要关注气体，尤其是空气。流体动力学的基本概念包

括：

流体的连续性：流体在流动过程中，其质量是守恒的。这意味着

流体在管道中流动时，流过任意截面的质量流量是恒定的。

流体的压缩性：流体的密度可以随压力和温度的变化而变化。在

低速流动中，空气的密度变化可以忽略，但在高速流动中，如超音速飞

行，空气的压缩性效应变得显著。

流体的粘性：流体内部存在摩擦力，这种摩擦力称为粘性。粘性

影响流体的流动状态，如层流和湍流。

流体的涡旋：流体流动时，可以形成涡旋，这是流体动力学中的

重要现象，对飞行器的升力和阻力有直接影响。

1.2连续性方程和动量方程

1.2.1连续性方程

连续性方程描述了流体质量的守恒。对于不可压缩流体，连续性方程可以

表示为：

∂

+∇⋅=0

∂

其中，是流体的密度，是流体的速度矢量，∇是梯度算子，是时间。

1.2.2动量方程

动量方程描述了流体动量的守恒，它是牛顿第二定律在流体动力学中的应

用。对于不可压缩流体，动量方程可以表示为：

∂

+∇⋅⊗=−∇+∇⋅+

∂

其中，是流体的压力，是应力张量，是重力加速度矢量。

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1.3能量方程和状态方程

1.3.1能量方程

能量方程描述了流体能量的守恒，包括动能、位能和内能。对于不可压缩

流体，能量方程可以表示为：

∂

⋅⋅

+∇=∇∇+

∂

其中，是流体的总能量，是热导率，是温度，是单位体积的内能生成

率。

1.3.2状态方程

状态方程描述了流体的物理状态，如压力、密度和温度之间的关系。对于

理想气体，状态方程可以表示为：

=

其中，是气体常数。

1.4示例：计算不可压缩流体的连续性方程

假设我们有一个二维不可压缩流体的流动，流体的速度分布为：

,,=2+3−

=4−2+

我们可以计算连续性方程的左侧，以验证质量守恒。

importsympyassp

#定义变量

x,y,t=sp.symbols(xyt)

rho=sp.symbols(rho)

#定义速度分量

u=2*x+3*y-t

v=4*x-2*y+t

#计算连续性方程的左侧

continuity_left=sp.diff(rho*u,x)+sp.diff(rho*v,y)

由于流体不可压缩，密度是常数，因此连续性方程的左侧应为

#ρ0