第四章线性系统的根轨迹法讲课.ppt

第四章 根轨迹法 4.3 广义根轨迹 设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有： 将C(s)表达式进行拉式反变换得： 二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定 性关系 三、主导极点和偶极子 主导极点： 偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。 解： 分析系统稳定性 4-3 控制系统的根轨迹分析 四、利用主导极点估算系统的性能指标 既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。 例4-12 极点 离虚轴最近，所以系统的主导极点为 ，而其他两个极点可以忽略。 这时系统可以看做是一阶系统。 传递函数为 式中：T=0.67s 根据时域分析可知 一阶系统无超调， 调节时间 例4-13 系统闭环传递函数 试估计系统的性能指标。 解： 闭环零、极点分布如图(4-26)所示 系统近似为二阶系统 4.3.2零度根轨迹的绘制 以具有正反馈内回路的的系统为例。 等效为相角方程（幅角条件）和模方程（模值条件） 与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。 所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。 规则3：渐近线的夹角 与实轴夹角 与实轴交点 规则4：实轴上的根轨迹 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。 这个结论可以用相角条件证明。 规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角） 起始角（出射角）： 终止角（入射角）： 例4-9 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为 试绘制该回路的根轨迹图。 （2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角 （1）系统的开环零极点分布为 有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-?，-3]，[-2，?）。 （3）确定出射角 （4）确定分离点 （5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为 4.3.3 附加开环零点的作用 1. 附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。 设开环传递函数为 附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在有限零点。 令 为不同的数值，对应的根轨迹见P.150 图4-25所示： （a）无开环零点；（b） ；（c） （d） 2 . 附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。 结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。 假设?(s)中无重极点，上式分解为部分分式 一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式 4-4 控制系统的根轨迹分析 从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布有关。 稳定性 所有闭环极点位于s平面的 左半部； 复数极点设置在s平面中 与负实轴成 夹角线附近； 平稳性 快速性 闭环极点远离虚轴； 动态过程尽快消失 小，闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。 如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且，该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统的主导极点 闭环零、极点对系统动态性能的影响 (1) 闭环极点的分布决定了动态响应的类型。 (2) 闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。 (3) 闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加 快，超调量增大，峰值时间提前。 (4) 系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。 (5) 远离虚轴的极点(或零点)和偶极子。 (6) 主导极点。 例已知系统开环传递函数为 试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比0.5时的性能指标。 图4-27 根轨迹图 图4-27 根轨迹图 按步骤作出系统的根轨迹，如图4-27所示。 在平面上画出 时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为 ，从图上测得 ，与之共轭的复数极点为 。 已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出第三个极点 。 使系统稳定的开环增益范围是 非最小相位根轨迹 绘制规则: （1）对于负反馈系统——按前述一般规则绘制； （2）对于