信号与线性系统解第四章.doc

习题答案 收集自网络 4.1 由于复指数函数是LTI系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一结论。 a 对单位冲激响应的LTI系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。 b 如果一个LTI系统的单位冲激响应为，找出一个信号，该信号不具有的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。 提示：可以找出满足这些要求的冲激串。 c 如果一个稳定的LTI系统的冲激响应是实、偶函数，证明和实该系统的特征函数。 d 对冲激响应为的LTI系统，假如是它的特征函数，其特征值为，确定应满足的微分方程，并解出。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。 解： a 的LTI系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值 为1。 b ，。如果是系统的特征函数，且特征值为1，则应有。满足这一要求的冲激序列为。 若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得： ， 特征值为1/2。 ， 特征值为2。 c 为实、偶函数 同理可证。 d 于是 求下列信号的傅里叶级数表示式。 a b 是以2为周期的信号，且 c 如图P4.2 a 所示。 d 如图P4.2 b 所示。 e 如图P4.2 c 所示。 f 如图P4.2 d 所示。 图P4.2 解： a ，取，则有 b , 则 c ，是奇函数， d ，可求得 e ，是偶函数， f ，可求得 4.3 已知某LTI系统的单位冲激响应为 对下列输入信号，求输出响应的傅里叶级数表示式。 a b c d 如图P4.3所示。 图P4.3 解：设则其中分别是和的傅里叶级数系数。 a 其余 ，其余 b ； c ; d 由图P4.3所示可得： 4.4 a 证明:以T为周期的信号如果是偶函数,即,则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果是奇信号，即，则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。 b 如果以T为周期的信号同时满足 则称为偶谐信号；如果同时满足 则称为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波；奇谐信号 的傅里叶级数只包含奇次谐波。 c 如果是周期为2 的奇谐信号，且，画出的波形，并求出它的傅里叶级数系数。 解： a ， 若，则 若，则 b 若，则 当k为偶数时， 当k为奇数时， 只有偶次谐波 同理可证奇谐信号只包含奇次谐波。 c 奇谐信号， 如图PS4.4所示。 图PS4.4 ，（k为奇数） ， （k为偶数） 假如图P4.5所示的信号和有如下三角函数形式的傅里叶级数表示式 画出信号 图P4.5 解： 而 设是一个周期信号，其基波周期为，傅里叶级数的系数为，用表示下列信号的傅里叶级数系数。此题证明了表4.2中所列的傅里叶级数的有关性质。 a b c d ,（假设） e f （要先确定该信号的周期） 解： a b c d 为周期信号 e 因此以T为周期 f 该信号周期为 4.7 已知某周期信号的前四分之一周期的波形如图P4.7所示。就下列情况画出一个周期（）内完整的波形。 图P4.7 a 是偶函数，只含有偶次谐波。 b 是偶函数，只含有奇次谐波。 c 是偶函数，含有奇次和偶次谐波。 d 是奇函数，只含有偶次谐波。 e 是奇函数，只含有奇次谐波。 f 是奇函数，含有偶次和奇次谐波。 解： a 且，如图PS4.7 a 所示。 b 且，如图PS4.7 b 所示。 c ，如图PS4.7 c 所示。 d 且，如图PS4.7 d 所示。 e 且，如图PS4.7 e 所示。 f ，如图PS4.7 f 所示。 图PS4.7 4.8 计算下列信号的傅里叶变换： a b ，其中 c 如图P4.8 a 所示。 d 如图P4.8 b 所示。 e f 如图P4.8 c 所示。 g 如图P4.8 d 所示。 图P4.8 解： a b c d e f g 4.9 确定下列傅里叶变换所对应的连续时间信号： a b c d 如图P4.9 a 所示。 e 如图P4.9 b 所示。 f 的模和相位如图P4.9 c d 所示。 图P4.9 解： a 设 即 b 故有 c 即 d e f 由图P4.9 c 、 d 知， 4.10 先求出图P4.10所示各信号的频谱，再用表示图中信号的频谱。 图P4.10 解： 4.11 设是图P4.11所示信号的频谱，不求出而完成下列计算： 求 求 计算 计算 画出Re对应