第四章线性系统的可控性和可观性.doc

第四章 线性系统的?可控性和可?观性 §4-1 问题的提出? 经典控制理?论中用传递?函数描述系?统的输入—输出特性，输出量即被?控量，只要系统是?因果系统并?且是稳定的?，输出量便可?以受控，且输出量总?是可以被测?量的，因而不需要?提出可控性?和可观性的?概念。 现代控制理?论是建立在?用状态空间?法描述系统?的基础上的?。状态方程描?述输入引起?状态的变化?过程；输出方程描?述由状态变?化所引起的?输出的变化?。可控性和可?观性正是定?性地分别描?述输入对状?态的控制能?力，输出对状态?的反映能力?。它们分别回?答： “输入能否控?制状态的变?化”——可控性 “状态的变化?能否由输出?反映出来”——可观性 可控性和可?观性是卡尔?曼（Kalma?n）在1960?年首先提出?来的。可控性和可?观性的概念?在现代控制?理论中无论?是理论上还?是实践上都?是非常重要?的。例如：在最优控制?问题中，其任务是寻?找输入，使状态达到?预期的轨线?。就定常系统?而言，如果系统的?状态不受控?于输入，当然就无法?实现最优控?制。另外，为了改善系?统的品质，在工程上常?用状态变量?作为反馈信?息。可是状态的?值通常是难?以测取的，往往需要从?测量到的中?估计出状态?；如果输出不?能完全反映?系统的状态?，那么就无法?实现对状态?的估计。 状态空间表?达式是对系?统的一种完?全的描述。判别系统的?可控性和可?观性的主要?依据就是状?态空间表达?式。 【例如】 （1） 分析：上述动态方?程写成方程?组形式： 从状态方程?来看，输入u不能?控制状态变?量，所以状态变?量是不可控?的；从输出方程?看，输出y不能?反映状态变?量，所以状态变?量是不能观?测的。 即状态变量?不可控、可观测；状态变量可?控、不可观测。 （2） 分析：上述动态方?程写成方程?组形式： 由于状态变?量、都受控于输?入u，所以系统是?可控的；输出y能反?映状态变量?，又能反映状?态变量的变?化，所以系统是?可观测的。 即状态变量?可控、可观测；状态变量可?控、可观测。 （3） 分析：上述动态方?程写成方程?组形式： 从状态方程?看，输入u能对?状态变量、施加影响，似乎该系统?的所有状态?变量都是可?控的；从输出方程?看，输出y能反?映状态变量?，的变化，似乎系统是?可观测的。实际上，这个系统的?两个状态变?量既不是完?全可控的，也不是完全?可观测的。 要解释和说?明这一情况?，就必须首先?弄清楚可控?性和可观性?的严格定义?及判别方法?。 §4-2 线性定常连?续系统的可?控性 一、线性定常连?续系统状态?可控性的定?义 定义4.1（状态可控性?定义）： 对于线性定?常系统，如果存在一?个分段连续?的输入，能在有限时?间间隔内，使得系统从?某一初始状?态转移到指?定的任一终?端状态，则称此状态?是可控的。若系统的所?有状态都是?可控的，则称此系统?是状态完全?可控的，简称系统是?可控的。 关于可控性?定义的说明?： （1）上述定义可?以在二阶系?统的相平面?上来说明。假如相平面?中的P点能?在输入的作?用下转移到?任一指定状?态，那么相平面?上的P点是?可控状态。假如可控状?态“充满”整个状态空?间，即对于任意?初始状态都?能找到相应?的控制输入?，使得在有限?时间间隔内?，将此状态转?移到状态空?间中的任一?指定状态，则该系统称?为状态完全?可控。 （2）在可控性定?义中，把系统的初?始状态取为?状态空间中?的任意有限?点，而终端状态?也规定为状?态空间中的?任意点，这种定义方?式不便于写?成解析形式?。为了便于数?学处理，而又不失一?般性，我们把上面?的可控性定?义分两种情?况叙述： ①把系统的初?始状态规定?为状态空间?中的任意非?零点，而终端目标?规定为状态?空间中的原?点。于是原可控?性定义可表?述为： 对于给定的?线性定常系?统，如果存在一?个分段连续?的输入，能在有限时?间间隔内，将系统由任?意非零初始?状态转移到?零状态，则称此系统?是状态完全?可控的，简称系统是?可控的。 ②把系统的初?始状态规定?为状态空间?的原点，即，终端状态规?定为任意非?零有限点，则可达定义?表述如下： 对于给定的?线性定常系?统，如果存在一?个分段连续?的输入，能在有限时?间间隔内，将系统由零?初始状态转?移到任一指?定的非零终?端状态，则称此系统?是状态完全?可达的，简称系统是?可达的（能达的）。 二、可控性的判?别准则 定理4.1：（可控性秩判?据） 对于n阶线?性定常系统?，其系统状态?完全可控的?充分必要条?件是：由A、B构成的可? 满秩，即 其中，n为该系统?4.2.