高等数学重积分的概念与性质.PPT

函数与极限 一、引例 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理: 三、二重积分的性质 例3. 比较下列积分的大小: 例5. 估计下列积分之值 8. 设函数 四、特殊区域下曲顶柱体体积的计算 思考与练习 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 作业 4. 证明: 3. 计算 解: P78 2，4(1)(4), 5(2)(4) P95 1(1), 8 * 第九章 一元函数积分学 多元函数积分学 重 积 分 第一节 二重积分的概念与性质 解法: 类似定积分解决问题的思想: 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割,近似 ,求和, 取极限” 1)“分割” 用任意曲线网把D分为 n 个小区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“近似”---以平代曲 在每个 3)“求和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 4)“取极限” 令 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并任取一小区域， 曲顶柱体的体积 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值 (3) 积分值和积分和的关系 当被积函数既有小于零又有大于零时，二重积分是各部分柱体体积的代数和． 引例中曲顶柱体体积: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 D 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D : 上二重积分存在 ; 在D 上 二重积分不存在 . ( k 为常数) （二重积分与定积分有类似的性质） 对区域具有可加性 ? 为D 的面积, 则 特别, 由于 则 5. 若在D上 ６. （二重积分估值不等式） 7.(二重积分的中值定理) 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 解 例2. 估计 的值, 其中 D 为 解: 被积函数 D 的面积 的最大值 的最小值 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 解 D夹在两直线间 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 在第一象限部分, 则有 设曲顶柱体的底可表示为: ［X－型］积分区域 其中函数 、 在区间 上连续. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 同样, 曲顶柱体的底可表示为 ［Y－型］ 则其体积可按如下两次积分计算 这样我们就把二重积分转化成为了二次积分或累次积分. 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 被积函数相同, 且非负, 解: 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 * *