2024_2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.5第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定学案含解析新人教A版必修第一册.doc
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第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定
必备学问·探新知
基础学问
学问点1全称量词命题的否定
全称量词命题p
?p
结论
?x∈M，p(x)
__?x∈M，?p(x)__
全称量词命题的否定是存在量词命题
思索1：用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一，如“全部的菱形都是平行四边形”，它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
学问点2存在量词命题的否定
存在量词命题p
?p
结论
?x∈M，p(x)
__?x∈M，?p(x)__
存在量词命题的否定是全称量词命题
思索2：一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定相同吗？
提示：(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，变更量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应依据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词并按要求变更量词．
基础自测
1．写出下列命题的否定：
(1)?n∈Z，n∈Q；
(2)随意奇数的平方还是奇数；
(3)每个平行四边形都是中心对称图形．
[解析](1)?n∈Z，n?Q；
(2)存在一个奇数的平方不是奇数；
(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形．
2．写出下列命题的否定：
(1)有些三角形是直角三角形；
(2)有些梯形是等腰梯形；
(3)存在一个实数，它的肯定值不是正数．
[解析](1)随意三角形都不是直角三角形；
(2)全部的梯形都不是等腰梯形；
(3)随意一个实数，它的肯定值都是正数．
关键实力·攻重难
题型探究
题型一全称量词命题的否定
例1(1)(2024·辽阳高一检测)命题“?x∈Z，x∈R”的否定是(D)
A．?x∈Z，x?R B．?x∈Z，x∈R
C．?x?Z，x?R D．?x∈Z，x?R
(2)(2024·北京高一检测)命题“?x∈A，|x|＋1≥1”的否定是__?x∈A，|x|＋1＜1
(3)写出下列全称量词命题的否定：
①任何一个平行四边形的对边都平行；
②?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
③?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
④可以被5整除的整数，末位是0．
[分析]把全称量词改为存在量词，然后否定结论．
[解析](3)①存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
②?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．
③?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
④存在被5整除的整数，末位不是0．
[归纳提升]1．全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种状况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
2．常见词语的否定
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于(即小于或等于)
小于
不小于(即大于或等于)
是
不是
都是
不都是
【对点练习】?写出下列全称量词的否定：
(1)?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；
(2)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(3)全部分数都是有理数；
(4)随意两个等边三角形都相像．
[解析](1)该命题的否定：
?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|＜2．
(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数．
(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相像．
题型二存在量词命题的否定
例2(1)命题“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是(D)
A．?x∈?RQ，x3?Q B．?x??RQ，x3∈Q
C．?x??RQ，x3?Q D．?x∈?RQ，x3?Q
(2)写出下列存在量词命题的否定，并推断其真假．
①p：存在x∈R,2x＋1≥0；
②q：存在x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＜0；
③r：有些分数不是有理数．
[分析]把存在量词改为全称量词，然后否定结论．
[解析](2)①随意x∈R,2x＋1＜0，为假命题．
②随意x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0．
因为x2－x＋eq\f(1,4)＝(x－eq\f(1,2))2≥0，所以是真命题．
③一切分数都是有理数，是真命题．
[归纳提升]1．存在量词命题否定的方法及关注点
(1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．
(2