2024_2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语2集合间的基本关系学案新人教A版必修第一册.doc

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集合间的基本关系

新课程标准解读

核心素养

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集

数学抽象、逻辑推理

2.在详细情境中，了解空集的含义

数学抽象

3.能运用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用

数学抽象、直观想象

第十三届全国人民代表大会第四次会议，于2024年3月5日在北京开幕，会议审查了《国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要(草案)》．此次有2907名代表参与会议，其中北京代表55名，若全部代表组成集合A，北京代表组成集合B.

[问题](1)集合B中的元素与集合A中的元素的关系是怎样的？

(2)集合B与集合A又存在着什么关系？

学问点一Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

eq\a\vs4\al()

用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显．

学问点二两个集合之间的关系

1．子集

2．集合相等

3．真子集

eq\a\vs4\al()

集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A；

(2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C；若AB，BC，则AC.

符号“∈”与“?”有什么区分？

提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.

②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1，2，3}?{3，2，1}．

③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“?”的两边均为集合．

1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则()

A．P∈Q B．P?Q

C．Q?P D．Q∈P

解析：选C集合Q中的元素都在集合P中，所以Q?P.

2．已知集合A＝{x|－1x2}，B＝{x|0x1}，则()

A．BA B．AB

C．BA D．AB

解析：选A由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，由图可知，BA.

3．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________．

解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1.

答案：－1

学问点三空集

定义

我们把不含任何元素的集合，叫做空集

记法

?

规定

空集是任何集合的子集，即??A

特性

空集只有一个子集，即它的本身，???；若A≠?，则?eq\a\vs4\al()A

?与0，{0}，{?}有何区分？

提示：

?与0

?与{0}

?与{?}

相同点

都表示无的意思

都是集合

都是集合

不同点

?是集合；

0是实数

?不含任何元素；{0}含一个元素0

?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是?

关系

0??

?{0}

?{?}

下列集合中，是空集的为________(填序号)．

①{0}；②{x|x8且x5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；

④{x|x4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．

答案：②③

集合间关系的推断

[例1](链接教科书第8页例2)推断下列集合的关系：

(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}；

(2)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}；

(3)A＝{x|x是文学作品}，B＝{x|x是散文}，C＝{x|x是叙事散文}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

[解](1)B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}＝{1，2，3}＝A.

(2)集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

(3)画出Venn图，可知CBA.

(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

eq\a\vs4\al()

推断集合间关系的常用方法

[跟踪训练]

1．(多选)下列关系中，正确的有()

A．0∈{0} B．?{0}

C．{0，1}{(0，1)} D．{(1，2)}＝{(2，1)}

解析：选AB对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．

2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，