2024_2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语5.1全称量词与存在量词学案新人教A版必修第一册.doc
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全称量词与存在量词
新课程标准解读
核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义
数学抽象、逻辑推理
2.能正确运用存在量词对全称量词命题进行否定
数学抽象
3.能正确运用全称量词对存在量词命题进行否定
数学抽象
1．5.1全称量词与存在量词
视察下列语句：(1)x＞3；(2)2x＋1是整数；(3)对全部的x∈R，x＞3；(4)存在一个x∈R，2x＋1是整数．
[问题]比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？
学问点一全称量词与全称量词命题
全称量词
“全部的”“随意一个”“一切”“每一个”“任给”等
符号
eq\a\vs4\al(?)
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中随意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
eq\a\vs4\al()
全称量词命题含有全称量词，但有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线相互平分”应理解为“全部的平行四边形的对角线都相互平分”．
1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“随意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．()
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．()
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．()
答案：(1)√(2)√(3)×
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对随意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对随意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：对随意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
学问点二存在量词与存在量词命题
存在量词
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等
符号
eq\a\vs4\al(?)
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
eq\a\vs4\al()
含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．()
(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．()
(3)命题“有的实数肯定值是正数”是存在量词命题．()
答案：(1)×(2)√(3)√
2．下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①随意一个自然数都是正整数；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝eq\f(7,3)；
④有些函数为奇函数．
答案：②④
全称量词命题与存在量词命题的推断
[例1]推断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
[解](1)可以改为全部的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为全部矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是全部的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．
eq\a\vs4\al()
推断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[留意]全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟踪训练]
用量词符号“?”或“?”表述下列命题：
(1)不等式x2＋x＋10恒成立；
(2)当x为有理数时，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1也是有理数；
(3)对全部实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(4)有些整数既能被2整除，又能被3整除．
解：(1)?x∈R，x2＋x＋10.
(2)?x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数．
(3)?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
全称量词命题、存在量词命题的真假推断
[例2]指出下列命题中，