2024_2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1集合的概念1集合的含义教案新人教A版必修第一册.docx
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集合的概念
【素养目标】
1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2.记住集合元素的特性以及常用数集；
3.会用集合元素的特性解决相关问题．
【重点】
用元素与集合的“属于”关系推断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．
【难点】
集合元素特性的应用．
1.1.1集合的含义
要点整合夯基础
基础学问
学问点一元素与集合的含义
定义
元素
一般地，我们把探讨对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，，，…表示．
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母，，，…表示．
集合相等
指构成两个集合的元素是一样的．
集合中元素的特性：
确定性、互异性和无序性
思索1：以下对象的全体能否构成集合？
(1)河北《红对勾》书业的员工；
(2)平昌冬奥会速滑竞赛中滑得很快的选手；
(3)一次函数的图象上的若干个点；
(4)不超过的非负数．
提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．
(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地推断，因此，“平昌冬奥会速滑竞赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．
(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合．
(4)任给一个实数，可以明确地推断是不是“不超过的非负数”，即“”与“或”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过的非负数”能构成一个集合．
思索2：若集合由,与三个元素组成，则的取值有限制吗？为什么？
提示：有限制，且.因为集合中的随意两个元素必需是互异的．
学问点二元素与集合的关系
假如是集合中的元素，就说属于(belongto)集合，记作；假如不是集合中的元素，就说不属于(notbelongto)集合，记作.
思索3：若集合是由元素,,,所组成的集合，问与,与有什么关系？
提示：,.
学问点三常用数集及表示
名称
非负整数集（或自然数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
思索4：常用的数集符号，，有什么区分？
提示：(1)为非负整数集(即自然数集)，而或表示正整数集，不同之处就是包括元素，而或不包括元素.
(2)和的含义是一样的，初学者往往误记为或，为避开出错，对于和可形象地记为“星星()在天上，十字架(＋)在地下”．
思索5：用符号“”或“”填空．
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5).
典例讲练破题型
题型探究
类型一集合的概念
【例1】下列所给的对象能构成集合的是__(1)(4)(5)______．
(1)全部的正三角形；
(2)中学数学必修第一册课本上的全部难题；
(3)比较接近的正数全体；
(4)某校高一年级的岁以下的学生；
(5)平面直角坐标系内到原点距离等于的点的集合；
(6)参与里约奥运会的年轻运动员．
【解析】(1)能构成集合．其中的元素需满意三条边相等；
(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；
(3)不能构成集合．因“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能构成集合．其中的元素是“岁以下的学生”；
(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于的点”；
(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．
【通法提炼】
推断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不行以.
【变式训练1】下列对象能组成集合的是()
A.的全部近似值
B.某个班级中学习好的全部同学
C.年全国高考数学试卷中全部难题
D.屠呦呦试验室的全体工作人员
【解析】D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满意确定性，因此A，B，C都不能构成集合．
类型二集合中元素的特性
命题视角1：集合元素的互异性
【例2】已知集合中含有两个元素和，若，求实数的值．
【分析】本题中已知集合中有两个元素且，依据集合中元素的特点需分或两种状况探讨，另外还要留意集合中元素的互异性．
依据集合中元素的确定性，可以解出字母的全部可能值，再依据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要留意分类探讨思想的应用．
【解析】若，则或，即.
当时，，集合有一个元素，∴.
当时，集合含有两个元素，，符合互异性．
∴.
【通法提炼】
当一个集合中的元素含字母时，可依据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的全部取值，再依据集合中元素的互异性进行检验.
【变式训练2