复变函数精品教学（华南理工大学）复变1试卷-答案.doc

一、填空题（每题5分） 1. 积分____________. 2. 设函数在单连通区域D内解析, C是D内任意一条简单正向闭曲线, 点在C的外部, 则积分_______________. 3. , 则在点处的留数为_________________. 4. 在的Taylor展式为____________. 5. 计算积分______________. 6. 设, 若积分曲线是第一象限内圆弧, 则积分______. 二、计算题（每题5分） 1. 计算和的值. 2. 求解方程. 3. 计算积分, C是正向. 4. 求复数幂级数的收敛半径. 5. 分别用导数定义和柯西—黎曼方程判断函数是否可导？是否解析？ 6. 求在奇点处的留数. 三、（10分）在指定区域内把函数展开为洛朗级数 1. , 2. , 四、（10分）计算积分 五、（10分）计算积分, 正向. 六、（10分）计算积分, 正向. 参考答案 一、填空题（每题5分） 1. 函数的奇点都在单位圆之外, 故. 2. 由条件知, 函数在C所围闭区域上解析, 根据柯西—古萨基本定理, . 3. 是函数的二级极点, 故 其中第三个等号和第五个等号可由洛比达法则得到. 4. , , 故而 , . 5. . 6. 函数在闭区域上解析, 积分曲线在此区域内, 所以 . 注: 在此处即为的主值. 二、计算题（每题5分） 1. , . , . 2. , 即, 即, 由一元二次方程求根公式得, 于是, . 3. 为函数在C所围区域内的两个孤立奇点, 由留数定理 而为函数的二级极点, 故 , . 因此, . 4. 5. 定义的做法见课本P22例2.3. 设, 则. , , , . 可见, 无论, 取何值, 与都不满足柯西—黎曼方程, , 即在整个复平面内处处不可导, 处处不解析. 6. 因此, 三、（10分）在指定区域内把函数展开为洛朗级数 1. 2. 四、见课本P101例5.9 五、见课本P100例5.8 六、函数在C的内部有四个一级极点, 即的四个根, 为方便, 记作, 1, 2, 3, 4. 由留数定理知, 而, 于是, , 最后一个等号是因为0为函数 (, , 1, 2, 3, 4) 的可去奇点.