高等代数第二版课件§3[1].3 线性相关性..ppt

作业 P155 2(1),6,10 * 第三章 线性方程组 * * * §3.3 线性相关性 向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本节仅限于在 中进行讨论。 一、向量组的线性关系 在解几中，向量空间 中的任一个向量α可由 和 中的一组数 表示出来，即有 。在一 般n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述表达式的意义。 定义1：设 是 中的向量，若存在F中 ，使 则称β是向量组 的一个线性组合，或称向量β可由 线性表出。 例3.3.1 在 中， 是 的线性组合。 例3.3.2 在 中，任一向量 可由向量组 线性表示， 称为n维单位向量。 这回答了本段开头提出的问题， 在 它有哪些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？下面将给予回答。 中有重要的作用。 注1：零向量是任一向量组的线性组合。 定义2：对于 中r个向量 ，若存在F中不全为 零的数 ，使 ，则称 线性相关，否则称 线性无关， （即不存在不全为零的数 ，使 是不 是 的线性组合？ ）。 例3.3.3 判断向量 是否线性相关（若 两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。 注2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。 注3：向量组 中有一个零向量，则 必线性相关。 例3.3.4 判断向量组 是否线性相关。 解：设有 ，使 于是得： 取 ，则有 故 线性相关。 由此可得判断向量组 线性关系的一般步骤： ⑴ 设 ⑵ 若能找到不全为零的 ，使⑴成立，则 线性相关； 若由⑴只能推出 ，则 线性无关。 更一般地，要判断 中向量组 是否线性相关， 只要判断齐次线性方程组 是否有非零解。 若有非零解，则 线性相关；若只有零解，则 线性无关。 二、线性关系的简单性质 性质1：向量组 中的每一向量 都可以由这一 组向量线性表示。 性质2：如果向量r可由向量组 线性表示，而 每一个向量 又可由向量组 线性表示。则r也可由 证：设 而 故 性质3：如果向量组 线性无关，则它的任一部 分组也线性无关。 线性表示。 性质 ：如果向量组 有部分组线性相关，则 也线性相关。 性质4：设向量组 线性无关而向量组 线性相关，则β一定可由 线性表示。 性质5：线性无关向量组 的同位延长向量组也线性无关。 证：设 线性无关，其延长向量组为： 设 ，可以推得： 因为 线性无关， 所以 ，故得 也线性无关。 定义3：向量组 线性相关的 充要条件是： 其中有某一个向量是 其他向量的线性组合。 （这个条件常被作为线性相关的另一种定义） 三、向量组的等价和替换定理 定义4 设向量组（Ⅰ）： 和向量组（Ⅱ）： 是向量空间 中的两个向量组，如果组（Ⅰ） 中的任一向量 都可由 线性表示，而组（Ⅱ） 的任一向量 也可由 则称这两个向量组等价。 例3.3.5 向量组 与向量组 是否等价？ 而 与 等价。 向量组的等价满足以下三个性质： 1、反身性：任何向量组均与自己等价； 2、对称性：若 与 等价，则 也与 等价； 3、传递性：若 与 等价， 与 具有以上三个性质的关系称之为等价关系。 定理 （替换定理）：设向量组（Ⅰ）： 线性无关，且每一 可由向量组（Ⅱ）： 线性表示，则 ，且在适当调整向量组（Ⅱ）中向量的 次序后，可使向量组（Ⅲ）： 与向量组（Ⅱ）等价。 证明要点：（对向量组（Ⅰ）中的个数r使用归纳法） 等价。则 与 等价。 当r=1时， 线性无关， 且 由于 ，必存在某个 不妨设就是 ，于是有 于是向量组 与向量组 等价。 假设当r=n-1时结论成立，即有 且在适当调整（Ⅱ）组中向量的次序后， 与组（Ⅱ）等价。 则当r=n时，考虑前n-1个向量，有归纳假设知， 且向量组（Ⅳ） 与组（Ⅱ）等价。 又 可被 线性表示， 可由向量组（Ⅳ）线性表示。 设 由于 线性无关， 必不全为零。 （否则得 矛盾）， 不妨设 因此，向量组（Ⅲ） 与向量组（Ⅳ） 等价。 由归纳假设知（Ⅳ）与（Ⅱ）等价，故向量组（Ⅲ）与（Ⅱ）等价。 由于 故 由替换定理可得以下两个重要推论： 于是 推论1：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。 推论2：如果向量组 可由向量组 线性 表示，且rs，则向量组 必线性相关。 通俗地说：如果个数多的向量组能被个数少的向量组表示，则个数多的向量组必线性相关。 推论3：n+1个n维向量必线性相关。 四、极大线性无关组 设 是向量空间 一组不全为零的向