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控制系统状态空间设计 例9-43 内模控制器 例9-45 自动检测系统 * * * * 设计实例 内模控制器 自动检测系统 在许多实际场合，状态变量反馈方法并 不是一种改善系统性能的实用方法。其主要 原因为： 其一，状态变量反馈往往要求用具有无 限带宽的PD控制器或PID控制器来实现，但 实际部件和控制器都只有有限的带宽； 其二，实际应用中通常无法测量和反馈 所有的状态变量，除了设置状态观测器以外，实用的状态反馈综合装置只能依赖于系统的输出、输入和少量的可测量的状态变量，从而影响系统综合的效果。 内模控制器是另一类校正控制器，能以 零稳态误差渐近跟踪各类参考输入信号，如 阶跃信号、斜坡信号及正弦信号等。众所周 知，在经典控制理论中，对于阶跃输入信号， Ⅰ型系统可以实现零稳态误差跟踪。如果在 校正控制器中引入参考输入的内模，则可以 在状态空间设计法中推广这一结论。采用类 似的内模控制器方法，可以在更多的情况下 实现零稳态误差跟踪。 设单输入-单输出系统的状态空间表达式为 其中，x∈Rn为状态向量，u为标量输入，y 为标量输出，A、b和c维数适当。 生成参考输入信号r(t)的线性系统为 其中，初始条件未知。 此外，参考输入r(t)的生成系统也可以等效为 首先考虑参考输入r(t)为单位阶跃信号时 的内模控制器设计。此时，r(t)可由下列方程 生成： 或等价为 定义跟踪误差 于是有 现在，引入两个中间变量z(t)和w(t)，其 定义为： 故有 则式(9-414)与式(9-415)构成如下增广系统方程 当增广系统可控时，即 总可以找到反馈信号 使该系统渐近稳定。这表明跟踪误差e(t)是渐近稳定的，因此系统输出能以零稳态误差跟踪参考输入信号。 当增广系统可控时，即 对式(9-418)求积分，可得系统内部的反馈控制信号为 与此对应的框图模型如图9-43所示。 图9-43 阶跃输入的内模设计 k1 k2 + - e - - 对象G(s) Y(s) R(s) u x 由图可见，在校正控制器中，除包含有 状态变量反馈外，还包含了参考阶跃输入的 内模（图中积分器环节），故称为内模控制 器。 下例为一个具体系统的单位阶跃输入内 模控制器的设计过程。 k1 k2 + - e - - 对象G(s) Y(s) R(s) u x 设有 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 由式(9-416) 知增广系统方程为 由于可控性矩阵 满秩，增广系统可控， 故通过状态反馈 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 式中k=[k1 k2 k3]，可任意配置闭环增广系统 的极点。 如果要求闭环极点为s1，2=-1±j，s3=-10，则希望特征方程为 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 而实际特征方程为 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 则由式(9-419)得到内模控制律为 相应的单位阶跃输入内模控制系统的结构图 如图9-44所示。 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 令上述两个特征方程式的对应项系数相等， 解得 k1=-5，k2=7.83，k3=1.09 或者 k1=-5，k2=2.17，k3=3.91 5 2 1.09 2 2 7.83 r e u x1=y x2 图9-44 单位阶跃输入内模控制系统 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 显然，本例设计的内模控制系统是渐近稳定 的。对任意初始跟踪误差e(0)，反馈控制信 号都可以保证在t→∞时，e(t)→0。图9-45直 观地表明了系统在单位阶跃参考输入时，跟 踪误差的渐近收敛性。 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 图9-45 跟踪误差 的内模设计响应，输入为单位阶跃响应，初始跟踪误差非零 跟踪误差 时间(s) 其次，考虑参考输入为斜坡信号的内模设计问题。单位斜坡参考输入信号为r(t)=t，由下列系统生成： 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 设单输入-单输出系统的状态空间表达式为 单位斜坡参考输入信号为r(t)=t 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 令中间变量 有 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 构造增广系统 （9-420） 若系统(9-420)可控，即 则存在状态反馈 要求系统输出能以零稳态误差跟踪