数字控制系统的离散化设计：状态空间法的教学课件.ppt

*************************************离散LQR控制器问题定义离散线性二次型调节器(LQR)的目标是最小化性能指标：J=Σk=0∞[xT(k)Qx(k)+uT(k)Ru(k)]其中Q是半正定矩阵，R是正定矩阵，分别表示状态偏差和控制输入的权重。求解Riccati方程离散时间代数Riccati方程：P=AdTPAd-AdTPBd(R+BdTPBd)-1BdTPAd+Q求解此方程得到正定矩阵P。计算反馈增益最优反馈增益矩阵：K=(R+BdTPBd)-1BdTPAd最优控制律：u(k)=-Kx(k)参数调整通过调整Q和R矩阵的元素，可以权衡状态偏差和控制输入的重要性。Q元素增大，对应状态收敛更快；R元素增大，对应控制输入幅值减小。离散LQR控制器通过优化性能指标，在系统响应和控制输入之间取得平衡。与极点配置法相比，LQR方法更加系统化，能够考虑控制信号能量消耗，避免过大的控制输入。在实际应用中，权重矩阵Q和R的选择是一个需要经验和反复调整的过程。离散状态观测器全维观测器当系统状态不可直接测量时，需要构建观测器估计状态。全维观测器方程：x?(k+1)=Adx?(k)+Bdu(k)+L[y(k)-Cdx?(k)]其中x?(k)是状态估计值，L是观测器增益矩阵。定义估计误差：e(k)=x(k)-x?(k)误差动态方程：e(k+1)=(Ad-LCd)e(k)观测器设计目标是选择L，使误差动态系统稳定且收敛速度满足要求。降维观测器当部分状态可直接测量时，可以构建降维观测器只估计不可测部分。设计步骤：将状态变量分为可测部分和不可测部分建立不可测部分的动态方程构造降维观测器估计不可测状态结合测量值和估计值重构完整状态降维观测器的优点是计算量小，动态性能可能更好。离散状态观测器是实现状态反馈控制的关键组件。通过合理设计观测器增益L，可以实现快速准确的状态估计。观测器设计与控制器设计相互独立，这就是分离原理，它简化了控制系统的设计过程。然而，在存在噪声和建模误差的情况下，观测器性能可能降低，需要更复杂的滤波技术如Kalman滤波器。Kalman滤波器1原理介绍Kalman滤波器是一种递推最优状态估计算法，特别适用于存在过程噪声和测量噪声的系统。它基于当前估计和新测量的加权平均，权重根据估计不确定性自动调整。2系统模型带噪声的离散状态空间模型：x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k)+w(k)y(k)=Cdx(k)+v(k)其中w(k)是过程噪声，v(k)是测量噪声，均假设为零均值白噪声，协方差矩阵分别为Qw和Rv。3滤波器方程预测步骤：x?(k|k-1)=Adx?(k-1|k-1)+Bdu(k-1)P(k|k-1)=AdP(k-1|k-1)AdT+Qw更新步骤：K(k)=P(k|k-1)CdT[CdP(k|k-1)CdT+Rv]-1x?(k|k)=x?(k|k-1)+K(k)[y(k)-Cdx?(k|k-1)]P(k|k)=[I-K(k)Cd]P(k|k-1)4性能与应用Kalman滤波器在噪声环境中提供最小均方误差估计，广泛应用于导航、目标跟踪、信号处理等领域。参数Qw和Rv的选择对滤波性能有重要影响。输出反馈控制结构输出反馈控制将状态观测器和状态反馈控制器结合，形成基于输出测量的控制系统。控制律：u(k)=-Kx?(k)+r(k)其中x?(k)是由观测器估计的状态。整个系统包括两部分：观测器：估计系统状态控制器：基于估计状态计算控制输入设计方法根据分离原理，控制器和观测器可以独立设计：检查系统的可控性和可观性设计状态反馈控制器，确定增益矩阵K设计状态观测器，确定增益矩阵L实现输出反馈控制系统分离原理保证了闭环系统的特征值是控制器和观测器特征值的并集。输出反馈控制是状态空间控制理论在实际应用中的重要实现形式，因为大多数实际系统只有部分状态可以直接测量。通过观测器和控制器的结合，可以在只有输出信息的情况下实现高性能控制。设计实践中，为了保证系统性能，通常使观测器动态比控制器动态更快，以便状态估计迅速收敛。这意味着观测器极点通常配置在比控制极点更远离单位圆的位置。前馈控制参考输入系统的期望设定值或轨迹前馈补偿基于参考模型的预先计算控制反馈控制处理不确定性和扰动的闭环控制系统输出跟踪期望轨迹的实际响应前馈控制是一种开环控制策略，它利用系统模型和