天津大学船舶与海洋工程821结构力学课件第九章2000放映版2.ppt

* * 研究的对象： 板的受力特点 板的边界特点 板的厚度范围 一、绪论 §9-3 刚性板的弯曲微分方程式 本节开始研究矩形板的一般弯曲，板只有横载荷，没有中面载荷，亦不考虑板变形而产生的中面。 如图:建立坐标系 y o x z t a b 基本假定： 直法线假定据此 板z方向的正应力与其他应力相比可忽略不计 不计板中面的变形 1、根据变形的假定条件及几何关系式 求出应变 与挠度w之间的相互关系； 2、根据物理方程 与挠度w之间的相互关系； 3、一dxdy微块上断面的合力及合力矩， 与挠度w之间的相互关系； 4、微块上力的平衡条件得到进而得到外力q(xy)与挠度之间的关系。 即弯曲板微分方程式 求解刚性板弯矩微分方程的基本过程 z o x 弯曲微分方程式 刚性板的弯曲微分方程式 可以用梁的弯曲微分方程式相同方式建立： （1）应变与位移 间的关系： 取微块dxdy, 如图 因此： 同理： （9-24） 由 此处u,v为板在x,y方向的位移 ： 于是： 从而： 由于板中面不变形，故 这样： 板剪应变为： （9-23） （9-25） （9-26） （9-27） 弯曲时应变与位移间的关系，可用矩阵写为： 或 式中： （2）应力与应变间关系： 应用方程式（9-2)得： 将（9-28）代入上式，得 分析应力分布的特点： 沿板厚线性分布，在中性层处应力为零 （3）板单位宽度断面上的力和 力矩： 板中取一微块，微块断面上分别有应力 ，及 板边dx上单位宽度上断面上 力和力矩 由剪力互等定理 得： 板边dy上单位宽度上断面上 力和力矩 其中 通过力的平衡条件求得。 将应力代入得： 式中 为板的刚度矩阵 ，所以上式可表达为： 式中： [D]为薄板弯曲问题中的“弹性矩阵” （4）静力平衡条件 建立板中面微块的平衡方程式，使所有力对Oy轴的合力矩为零，得： 如图： 从上式可以看到， 在列平衡是不能忽略， 因为它们直接构成域外荷重相平衡 略去三阶微量，并同除以dxdy得： 所有的力在Oz轴上的投影力为0，得： 此处 表示算子 刚性板一般弯曲的平衡微分方程式，也可写成： 这样，一旦求得板的挠曲函数w(x,y), 得板弯曲时的应力为 上式可简写为 求解w是关键： 边界条件的引入 边界条件 刚性板一般弯曲的微分方程式是两个变数的四阶线性偏微分方程式。解时要有八个任意常数。因此必须有八个边界条件。看一下四种情况： 板自由支持在刚性周界上（如图）： 板刚性固定在刚性周界上（如图）： 此时板边缘挠度和弯矩均为零，因此在x=0和x=a处有 因边缘处板没有挠度，所以 从而： 同理： dx dx y b z o x 在中间dx上的扭矩的等效合力 单位长度上扭矩的等效合力 在边缘x=0,x=a处有： 弹性支座边（弹性支座支持在刚性支座上）： Y=b,微段dx作用有扭矩 其相邻微段dx上有扭矩 我们用一个静力上等效的力系来代替扭矩的作用，在两区域中 线之间的微段dx只有垂向力作用，大小为 ，计及剪力 板的边缘为自由边： 若y=b边为自由边，则该边应满足： 这样有三个边界条件，但在解弯曲微分时，只允许有两个边界条件，因此，把剪力与扭矩都为零的条件化为一等效的剪力为零的条件： 如图： dx dx y b z o x 板边总垂向力为： dx dx b z o x y 单位宽度总