2025版新教材高中数学第三章函数的概念与性质2.1第1课时函数的单调性学案新人教A版必修第一册.docx

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第1课时函数的单调性

课标解读

课标要求

素养要求

借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和实际意义.

1.逻辑推理—会用函数单调性的定义推断或证明一些函数的单调性.

2.直观想象—会利用函数图象求一些详细函数的单调区间.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一增函数与减函数

一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D?I:

假如?x1,x2∈D,当x1x

特殊地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.

假如?x1,x2∈D,当x1x

特殊地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.

要点二函数的单调区间

假如函数y=f(x)在区间D上⑤单调递增或⑥单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

自主思索

1.若f(x)是R上的增函数，则f(π+4)与

答案：提示f(π

2.若函数f(x)=x2+4x-3在区间[a,b]上单调递增,则是否存在x1,

答案：提示不存在.

名师点睛

1.函数单调性的定义的等价形式

设x1

（1）f(x1)-f(

（2）f(x1)-f(

2.并非全部的函数都具有单调性.如f(x)=1,x\text

3.图象变换对单调性的影响

（1）函数图象上下平移不影响单调区间,即y=f(x)和y=f(x)+b的单调区间相同.

（2）函数图象左右平移影响单调区间．如y=x2的单调递减区间为(-∞,0),y=(x+1)

（3）y=k?f(x),当k＞0时,函数的单调区间与f(x)的相同,当k＜0时,函数的单调区间与f(x)的相反.

4.单调区间

单调区间可以是整个定义域．如y=x在整个定义域(-∞,+∞)上单调递增,y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上单调递减.单调区间也可以是定义域的真子集.如y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,但在(-∞,0)上单调递减,在

5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应当用“和”或“,”连接.如函数y=1x(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,不能写成y=

6.函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减改变,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包括.但对于函数无意义的点,单调区间肯定不能包括.

互动探究·关键实力

探究点一用定义法证明（推断）函数的单调性

精讲精练

例已知函数f(x)=1

（1）求f(x)的定义域;

（2）推断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.

答案：（1）由x2-1≠0得

故函数f(x)=1x2

（2）函数f(x)在(1,+∞)上为减函数.证明：

?x1

则f(

=

=(

由x

得x

所以x

又由x

得x

所以f(x

即f(

故函数f(x)在(1,+∞)上为减函数.

解题感悟

利用定义证明函数单调性的步骤

迁移应用

1.求证：函数f(x)=x-1x在区间

答案：证明?x1

则f(

=

∵x1

∴x1-x2

∴f(x)=x-1x在区间

探究点二求函数的单调区间

精讲精练

例已知f(x)=

（1）画出函数f(x)的图象;

（2）求函数f(x)的单调区间．

答案：（1）函数f(x)的图象如图所示：

（2）由f(x)的图象可得,单调递减区间为[-3,-2),[0,1),[3,6],单调递增区间为[-2,0),[1,3)．

解题感悟

求函数单调区间的两种方法

（1）图象法：先画出图象,再依据图象求单调区间.

（2）定义法：先求出定义域,再利用定义法进行推断.

迁移应用

1.函数f(x)=|2x-1|的单调递减区间是.

答案：(-∞,

解析：函数f(x)的图象如图所示:

由图象易知函数的单调递减区间为(-∞,1

2.求函数f(x)=1

答案：由题意得x-1≠0,得x≠1,所以函数f(x)=1x-1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).?x

则f(x

因为x1＜

所以f(x

即f(x

所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减.

同理,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.

综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,1),(1,+∞).

探究点三函数单调性的应用

精讲精练

例（1）已知函数f(x)=-x

①若函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是;

②若函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为.

（2）若函数f(x)=