2024_2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质4函数的应用一学案新人教A版必修第一册.doc

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函数的应用(一)

新课程标准解读

核心素养

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具

数学抽象、数学建模

2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的改变规律

数学建模、数学运算

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

年份

2024

2024

2024

销量/万辆

8

18

30

结合以上三年的销量及人们生活的须要，2024年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标．

[问题](1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采纳什么方式获得直观信息？

(2)你认为该目标能够实现吗？

学问点常见的几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

分段函数模型

f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f1（x），x∈D1，,f2（x），x∈D2，,……，,fn（x），x∈Dn))

幂函数模型

f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)实际问题中两个变量之间肯定有确定的函数关系．()

(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．()

(3)用函数模型预料的结果和实际结果必需相等，否则函数模型就无存在意义了．()

答案：(1)×(2)×(3)×

2．随着海拔高度的上升，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系，当x＝36kPa时，y＝108g/m3，则y与x的函数关系式为()

A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x

C．y＝eq\f(1,3)x(x≥0) D．y＝eq\f(1,3)x

答案：A

3．一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________．

答案：y＝20－x(0x20)

一次函数模型的应用

[例1](链接教科书第93页例1)某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必需相同，试问报刊亭摊主应当每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？

[解]设每天从报社买进x(250≤x≤400)份报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；每月退回报社报纸共10×(x－250)份．

依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．

即y＝0.16(20x＋2500)－0.16(10x－2500)，

化简得y＝1.6x＋800(250≤x≤400)．

∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6＞0，

∴y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1440(元)．

∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1440元．

eq\a\vs4\al()

利用一次函数模型解决实际问题的2个留意点

(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；

(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．

[跟踪训练]

商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种实惠活动：

(1)买一只茶壶赠送一只茶杯；

(2)按购买总价的92%付款．

某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若购买x只茶杯时总付款为y元，试分别建立两种实惠活动中y与x之间的函数关系式，并指出假如该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种实惠活动？

解：设实惠活动(1)，(2)对应的付款分别为y1元，y2元．

由实惠活动(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．

由实惠活动(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．

当该顾客购买茶杯40只时，采纳实惠活动(1)应付款y1＝5