2024_2025年新教材高中数学第三章函数的概念与性质4函数的应用一学案新人教A版必修第一册.docx

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函数的应用(一)

学问点基本模型

1．一次函数模型：解析式y＝__kx＋b__，条件k≠__0__；

2．二次函数模型：(1)一般式：y＝__ax2＋bx＋c__(a≠0)；

(2)顶点式：y＝__aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)__(a≠0)；

(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).

3．幂函数模型：(1)解析式：y＝__axα＋b__(a，b，α为常数，a≠0)；

(2)单调性：其增长状况由xα中的__α__值确定．

4．分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在探讨条件改变的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)在一次函数模型中，k0时，函数是增长的．(√)

(2)在用函数模型解决实际问题时，得到的数学问题的解就是实际问题的解．(×)

(3)现实生活中有许多问题都可以用分段函数来描述，如出租车计费，个人所得税等．(√)

(4)一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画．(√)

【解析】(1)k0时，一次函数是增函数．

(2)在用函数模型解决实际问题时，得到的数学问题的解还要用实际问题进行检验，以确定是否符合实际．

(3)可以用分段函数来描述实际问题，正确．

(4)h＝20－5t(0≤t≤4)，是一次函数，正确．

eq\o(\s\up7(),\s\do5(一次函数模型))

eq\a\vs4\al(例1)某服装厂每天可以生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元，每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．由于资金有限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使盈利最大，若按每月30天计算，应支配生产童装和西服各多少天(天数为整数)？求出最大利润．

解：设生产童装的天数为x，总利润为y元，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装和西服的套数分别为200x和50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为(40×200x)元和[150×50×(30－x)]元，每月生产童装和西服的利润分别为(22×200x)元和[80×50×(30－x)]元，则总利润为y＝22×200x＋80×50×(30－x)，

化简得y＝400x＋120000.

由于每月成本不超过23万元，则40×200x＋150×50×(30－x)≤230000，解得0≤x≤10，且x为整数．明显当x＝10时，盈利最大．

故每月应支配生产童装10天，生产西装20天，每月的最大利润是124000元．

[规律方法]

用一次函数模型解决实际问题的解题方法：

(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；

(2)依据题目中的数量关系建立一次函数模型；

(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．

活学活用

为了发展电信事业，便利用户，电信公司对移动电话采纳不同的收费方式，其中所运用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：小时)与通话费用y1，y2(单位：元)的关系如图所示：

(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内运用哪种卡便宜．

解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝eq\f(1,5)，k2＝eq\f(1,2).

故y1＝eq\f(1,5)x＋29(x≥0)，y2＝eq\f(1,2)x(x≥0).

(2)令y1＝y2，即eq\f(1,5)x＋29＝eq\f(1,2)x，

则x＝96eq\f(2,3).

当x＝96eq\f(2,3)时，y1＝y2，两种卡收费一样；

当x96eq\f(2,3)时，y1y2，运用“便民卡”便宜；

当x96eq\f(2,3)时，y1y2，运用“如意卡”便宜．

eq\o(\s\up7(),\s\do5(二次函数模型))

eq\a\vs4\al(例2)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000.已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少