第1届大学生数学竞赛决赛试题.pdf

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20 分，每小题各5 分，要求写出重要步骤）. n1 k k (1) 求极限lim (1 )sin 2 . n k 1 n n 2 axdydz (z a) dxdy 2 2 2  (2) 计算 ，其中 为下半球面z  a  y x 的上侧， .  2 2 2 a 0  x  y z a (3) 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 元， V 而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何 b 值时所需费用最少？  1 1  1 ,   f (x ) 3 3 (4) 已知f (x ) 在4 2  内满足 sin x cos x ，求f (x ) . 二、（10 分）求下列极限 n n  1 1 1   1   a n bn cn  (1) lim n 1  e  ； (2) lim   , 其中a 0,b 0, c 0 . n  n   n  3      三、（10 分）设f (x ) 在x 1点附近有定义，且在x 1点可导， f (1) 0,f (1) 2 . 求 2 f (sin x cosx ) lim . 2 x 0 x x tan x  1 y 四、（10 分）设f (x ) 在[0,) 上连续，无穷积分0 f (x )dx 收敛. 求 lim 0 xf (x )dx .