量子力学-第四章.ppt

写成矩阵形式 表成显式 整 理 改 写 上式是一个齐次线性方程组 方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零 久 期 方 程 求解此久期方程得到一组λ值：λ1, λ2, ..., λn, ....就是F的本征值。 将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi的本征矢 于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。 （二）本征方程 第三十页，共五十六页，2022年，8月28日 例1： ? 本征函数 um(x) 在自身表象中的矩阵表示。 同样将 um(x) 按 ? 的本征函数展开： 显 然 有 所以 um(x) 在自身表象中的矩阵表示如下： 第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日 例2：求 Lx本征态在 Lz表象中的矩阵表示，只讨论(?=1)情况。 解 Lx的本征方程为： 欲得a1, a2, a3 不全为零的解， 必须要求系数行列式等于零 λ(-λ2 + ?2) = 0 解得本征值 λ= 0, ±?. 第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日 取λ= ?代入本征方程得： 解得： 由归 一化 条件 定 a2 为简单计 取实数 同理得另外两个本征值相应本征函数 则 ?=1, Lx = ? 的本征态 可记为： 第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日 写 到 Q 表 象 按力学量算符 Q的本征函数展开 左乘 um*(x) 对 x 整个空间积分 Ψ H 都是矩阵 简写 （三）Schrodinger方程的矩阵形式 第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日 §4.4 Dirac 符号 (一）引 (二) 态矢量 （三）算符 （四）总结 第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日 前三章给出的都是 X - 表象中的形式， 本章中给出了任一力学量 Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间，即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的， 所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 (一）引 第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日 （1）右矢空间 前面已经讲过，一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。 例如：一维线性谐振子其状态由量子数 n 确定，记为ψn(x)；氢原子的状态由量子数 n, l, m 确定，记为 ψn l m( r,?, ?)， 如此等等。 在抽象表象中 Dirac 用右矢空间的一个矢量 | 与量子状态相对应，该矢量称为右矢(刃矢)。 |n ? ψn(x)； |n, l, m ? ψn l m 状态 |n 和 |n, l, m 亦可分别记成 |ψn 和 |ψn l m 。 对力学量的本征态可表示为 |x, |p, |Qn ... 等。 因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ 可按该空间的某一完备基矢展开。 例如： (二)态矢量 第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日 （2）左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 |。例如： Dirac 符号 右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间， ψ | 和 |ψ 称为伴矢量。 p’ |, x’ |, Qn | 组成左矢空间的完备基组， 任一左矢量可按其展开， 即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。 左矢空间 右矢空间 n | |n n,l,m | |n,l,m x | |x A | |A l,m | |l,m p | |p Qn | |Qn 左矢， bra ket, 右矢 第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日 （3）伴矢量|ψ 和 ψ |的关系 |ψ 按 Q 的右基矢 |Qn 展开 |ψ = a1 |Q1 + a2 |Q2 + ... + an |Qn + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： ψ| 按 Q 的左基矢