2026版大一轮高考数学-第八章 §8.5 椭 圆.docx
§8.5椭圆
课标要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a
(ab0)
y2a
(ab0)
范围
－a≤x≤a
且－b≤y≤b
－b≤x≤b
且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，
F2(c，0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝ca(0e
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.(×)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(√)
(3)y2m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×)
2.已知平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为()
A.x216＋y24＝
C.x29＋y25＝
答案B
解析因为平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，且8|F1F2|＝4，
所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆，
设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，焦距为2c
故动点P的轨迹方程为x216＋
3.(2024·黔东南模拟)椭圆x25m＋y23m
A.105 B.
C.225 D
答案A
解析由椭圆的标准方程可得a2＝5m，b2＝3m，所以离心率e＝c
＝25
4.若椭圆C：x24＋y23
A.3 B.2＋3
C.2 D.3＋1
答案A
解析由题意知a＝2，b＝3，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大；当点
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|＋
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
题型一椭圆的定义及其应用
例1(1)已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是()
A.直线
B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
答案C
解析设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，且与圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，
可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2，
所以|MC1|＋|MC2|＝8|C1C2|＝2，
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2，
可得a＝4，c＝1，则b＝a2
所以动点M的轨迹方程为x216＋
所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆.
(2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆x29＋y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F
A.15 B.15
C.37 D.415
答案A
解析由题意可得a＝3，b＝5，c＝9-5＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，
所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，
根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，
所以△PF1F2为等腰三角形，且F2到PF1的距离为h＝PF
故△PF1F2的面积为12|PF1|·h＝15
思维升华椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.