数学第八章　§8.5　椭　圆.docx

§8.5椭圆

课标要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的.

注意：(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；

(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；

(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

x2a2＋y

y2a2＋x

范围

顶点

轴长

短轴长为，长轴长为?

焦点

焦距

|F1F2|=?

对称性

对称轴：，对称中心：?

离心率

a，b，c的关系

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.()

(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.()

(3)y2m2+x2n2=1(m≠n)表示焦点在

(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()

2.已知平面内一动点P到两定点F1(-2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为()

A.x216+y24=1 B.

C.x29+y25=1 D.

3.(2024·黔东南模拟)椭圆x25m+y

A.105 B.35 C.225

4.若椭圆C：x24+

A.3 B.2+3

C.2 D.3+1

椭圆中常见结论：

P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2=θ，如图所示.

(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2

(2)|PF1|max=a+c，|PF1|min=a-c.

(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|+

(4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.

(5)焦点三角形的周长为2(a+c).

题型一椭圆的定义及其应用

例1(1)已知动圆M和圆C1：(x+1)2+y2=36内切，并和圆C2：(x-1)2+y2=4外切，则动圆圆心M的轨迹是()

A.直线

B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆

D.焦点在y轴上的椭圆

(2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|=|OM|，则△PF

A.15 B.152 C.37 D.4

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

跟踪训练1(1)设F1，F2为椭圆C：x24+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2=0，则|

A.1 B.2 C.4 D.5

(2)已知F1，F2分别为椭圆C：x216+y2b2=1(4b0)的左，右焦点，A为椭圆C的上顶点，且△AF1F2为等边三角形；过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，则

题型二椭圆的标准方程

例2(1)过点(-3，2)且与x29+

A.x2225+y2100=1 B.

C.y2225+x2100=1 D.

(2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(-3，-2)和B(-23，1)两点，则椭圆C的标准方程为.

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0，n0，m≠n)；与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)共焦点的椭圆方程可设为x2a2+m+y2b2+m=1(ab0，m-b2)；与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0

跟踪训练2(1)(2024·九江模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为π6的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1

A.x23+y2=1 B.x2

C.x29+y23=1 D.

(2)已知椭圆的中心在原点且过点P(3，2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，则该椭圆的方程为.

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

例3(2024·大庆模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，B(0，b)，若经过