第八章 §8.5　圆与圆的位置关系.docx

§8.5圆与圆的位置关系

课标要求1.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能根据圆与圆的位置关系求公共弦方程、公共弦长、切线等一些简单问题.

圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|)

图形

量的关系

外离

dr1+r2

外切

d=r1+r2

相交

|r1-r2|dr1+r2

内切

d=|r1-r2|

内含

d|r1-r2|

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(×)

(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(×)

(3)若两圆相切，则两圆有三条公切线.(×)

(4)若两圆C1，C2相交于A，B两点，则线段C1C2与线段AB互相垂直平分.(×)

2.圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是()

A.外切 B.相交 C.外离 D.内切

答案A

解析圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1=2，

圆C2可化为(x-4)2+(y-3)2=9，

∴圆心C2(4，3)，半径r2=3，

∴|C1C2|=(4?0)2+(3?0)2=5=r

故两圆外切.

3.设a0，若圆(x-a)2+y2=1与圆x2+y2=25有公共点，则a的取值范围为()

A.(0，4) B.{4}

C.(4，6) D.[4，6]

答案D

解析圆(x-a)2+y2=1，圆心为(a，0)，半径为1，圆x2+y2=25，圆心为(0，0)，半径为5，若圆(x-a)2+y2=1与圆x2+y2=25有公共点，则4≤|a|≤6，又a0，所以4≤a≤6.

4.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2-4x-4y+4=0，两圆的公共弦所在的直线方程为.?

答案x+y-2=0

解析由圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2-4x-4y+4=0，两式作差得，4x+4y-4=4，即x+y-2=0，所以两圆的公共弦所在的直线方程是x+y-2=0.

灵活应用两圆相交时公共弦的性质

圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时：

(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在的直线方程；

(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).

题型一圆与圆的位置关系的判断

例1(1)(多选)(2024·合肥模拟)已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4，a∈R，则()

A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1

B.若圆O与圆C相切，则a=±22

C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则-22a22且a≠0

D.若a=15，且P，Q分别是圆O和圆C上的动点，则|PQ|的取值范围是[1，7]

答案ACD

解析根据题意，可得圆O：x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4的圆心为C(a，1)，半径R=2，因为两圆的圆心距d=|OC|=a2+1≥1，所以

当两圆内切时，圆心距d=|OC|=R-r=1，即a2+1=1，解得a=0；当两圆外切时，圆心距d=|OC|=R+r=3，即a2+1=3，解得a=±22.综上所述，若两圆相切，则a=0或a=±2

若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=|OC|∈(R-r，R+r)，即a2+1∈(1，3)，可得1a2+13，解得-22a22且a≠

当a=15时，两圆的圆心距d=|OC|=4R+r，故两圆外离，则|OC|-R-r≤|PQ|≤|OC|+R+r，即1≤|PQ|≤7，故D项正确.

(2)圆C1：x2+y2+8x-2y+9=0和圆C2：x2+y2+6x-4y+11=0的公切线方程是()

A.y=-x+1

B.y=-x+1或y=x+5

C.y=-x+5

D.y=x+1或y=2x+5

答案A

解析圆C1：(x+4)2+(y-1)2=8，圆心C1(-4，1)，半径r1=22，

圆C2：(x+3)2+(y-2)2=2，圆心C2(-3，2)，半径r2=2，

因为|C1C2|=2=r1-r2，

所以两圆内切，公切线只有一条，

因为两圆圆心连线与切线相互垂直，且kC1

所以切线的斜率为-1，

由方程组x

解得x

故圆C1与圆C2的切点坐标为(-2，3)，

故公切线方程为y-3=-(x+2)，

即y=-x+1.

思维升华判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.

(2)代