第八章 §8.2　两条直线的位置关系.docx

§8.2两条直线的位置关系

课标要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

1.两条直线的位置关系

直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1＝0，l4：A2x+B2y+C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：

位置

关系

l1，l2满足的条件

l3，l4满足的条件

平行

垂直

相交

2.三种距离公式

(1)两点间的距离公式

①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).

②结论：|P1P2|＝.

③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝.

(2)点到直线的距离

点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C＝0的距离d＝.

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线l1：Ax+By+C1＝0与l2：Ax+By+C2＝0间的距离d＝.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.()

(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()

(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

(4)若点A，B关于直线l：y＝kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上.(

2.(2025·福州模拟)若直线l1：ax+2y－1＝0与直线l2：(a－1)x－y－12＝0垂直，则实数a的值是(

A.－1或2 B.－1 C.2 D.2

3.两条平行直线x+y+4＝0与2x+2y+3＝0间的距离为()

A.28 B.22 C.3

4.过直线x+y+1＝0和3x－y－3＝0的交点，且倾斜角为45°的直线方程为.

谨防四个易误点

(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.

(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.

(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.

题型一两条直线的平行与垂直

例1(1)已知直线l1：ax+y－2＝0，l2：2x+(a+1)y+2＝0，l3：－2bx+y+1＝0，a，b∈R，若l1∥l2，l1⊥l3，则b等于()

A.－12或14 B.12 C.12或－14

(2)(2025·许昌模拟)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(3，－2)，C(5，1)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状是()

A.平行四边形 B.正方形

C.菱形 D.矩形

思维升华判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况.

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

跟踪训练1(1)已知直线l1：a2x－y+a2－3a＝0，l2：(4a－3)x－y－2＝0，若l1∥l2，则a等于()

A.1 B.1或2 C.1或3 D.3

(2)(多选)△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是()

A.边BC与直线3x－2y+1＝0平行

B.边BC上的高所在的直线方程为3x+2y－12＝0

C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y－13＝0

D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)

题型二两直线的交点与距离问题

例2(1)(2024·南阳质检)点P为直线2x－3y+1＝0和x+y－2＝0的交点，则点P到直线l：kx－y+k+2＝0的最大距离为()

A.55 B.5 C.655

(2)(2024·武汉模拟)若两条平行直线l1：x－2y+m＝0(m0)与l2：2x+ny－8＝0之间的距离是25，则m－n＝.

思维升华利用距离公式应注意的点

(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.

(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.

跟踪训练2(1)过两条直线l1：x+2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交点，且与直线x+3y+1＝0垂直的直线的方程为()

A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0

C.x－3y+3＝0 D.3x+y－7＝0

(2)(多选)(2024·九江模拟)已知两条平行直线l1：x+3y+1＝0，l2：x+3y－3＝0.若直线l被l1，l2截得的线段长为22，则直线l的倾斜角可能是()