第八章 §8.2 两条直线的位置关系.docx
§8.2两条直线的位置关系
课标要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置
关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1=k2且b1≠b2
A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)
垂直
k1·k2=-1
A1A2+B1B2=0
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|=(x
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|=x2
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=Ax
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0间的距离d=|C
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2?l1∥l2.(×)
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(×)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(√)
(4)若点A，B关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于-1k，且线段AB的中点在直线l上.(√
2.(2025·福州模拟)若直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：(a-1)x-y-12=0垂直，则实数a
A.-1或2 B.-1 C.2 D.2
答案A
解析直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：(a-1)x-y-12=0垂直，则有a(a-1)-2=0，解得a=-1或a
3.两条平行直线x+y+4=0与2x+2y+3=0间的距离为()
A.28 B.22 C.32
答案D
解析因为直线x+y+4=0，即2x+2y+8=0，
原问题转化为求两条平行直线2x+2y+8=0与2x+2y+3=0间的距离，
由两条平行直线间的距离公式可得d=|8?3|22+
4.过直线x+y+1=0和3x-y-3=0的交点，且倾斜角为45°的直线方程为.?
答案x-y-2=0
解析联立x+y+1=0,3x?y?3=0,可得x=12,y=?32,故交点为1
谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
题型一两条直线的平行与垂直
例1(1)已知直线l1：ax+y-2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，l3：-2bx+y+1=0，a，b∈R，若l1∥l2，l1⊥l3，则b等于()
A.-12或14
C.12或-14
答案B
解析已知直线l1：ax+y-2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，l3：-2bx+y+1=0，a，b∈R，
由l1∥l2，得a(a+1)-2=0，解得a=-2或a=1，
当a=-2时，l1：-2x+y-2=0，即2x-y+2=0，l2：2x-y+2=0，所以l1与l2重合，不符合题意；
当a=1时，l1：x+y-2=0，l2：2x+2y+2=0，即x+y+1=0，所以l1∥l2.
故a=1，
由l1⊥l3，得-2b+1=0，故b=12
(2)(2025·许昌模拟)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(3，-2)，C(5，1)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状是()
A.平行四边形 B.正方形
C.菱形 D.矩形
答案B
解析因为kAB=-23，kBC=3
kCD=-23，kAD=3
所以kAB=kCD，kBC=kAD，
所以AB∥CD，BC∥AD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
又kABkAD=-1，则AB⊥AD，所以四边形ABCD是矩形，
又|AB|=32+(?2)2=13，|BC|=(3?5)2+(?2?1)2
所以四边形ABCD是正方形.
思维升华判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
跟踪训练1(1)已知直线l1：a2x-y+a2-3a=0，l2：(4a-3)x-y-2=0，若l1∥l2，则a等于()
A