第八章　§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

课标要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

相离

相切

相交

图形

量

化

方程观点

Δ0?

Δ0?

Δ0?

几何观点

dr?

dr?

dr?

2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|)

图形

量的关系

外离

外切

相交

内切

内含

3.直线被圆截得的弦长

(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|=.

(2)代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|=.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.()

(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()

(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.()

(4)在圆中最长的弦是直径.()

2.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是()

A.相交且直线经过圆心 B.相切

C.相离 D.相交且直线不经过圆心

3.直线2x-y+1=0与圆x2+y2=2交于A，B两点，则弦AB的长度为()

A.425 B.655 C.2

4.圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是()

A.外切 B.相交 C.外离 D.内切

灵活应用两圆相交时公共弦的性质

圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时：

(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；

(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).

题型一直线与圆的位置关系

命题点1位置关系的判断

例1(多选)已知圆C：(x-2)2+y2=16，直线l：mx+y-3m-1=0，则下列结论中正确的是()

A.直线l恒过定点(3，1)

B.直线l与圆C相切

C.直线l与圆C相交

D.直线l与圆C相离

思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系判断.

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

命题点2弦长问题

例2已知直线l：y=kx+3与圆C：(x-1)2+(y-1)2=4交于A，B两点，若|AB|=23，则k等于()

A.-34 B.34 C.12 D

思维升华弦长的两种求法

(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.

(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l=2r2

命题点3切线问题

例3(多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为()

A.x=4 B.15x+8y-36=0

C.y=-3 D.8x-15y-3=0

思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k.

(2)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k.

注意验证斜率不存在的情况.

命题点4直线与圆位置关系中的最值问题

例4已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为.

思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.

跟踪训练1(1)(多选)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则下列命题正确的有()

A.直线l恒过定点(3，1)

B.y轴被圆C截得的弦长为26

C.直线l与圆C恒相交

D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0

(2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P在圆O：x2+y2=4上，直线l：4x+3y-12=0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则()

A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为23

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