2026版大一轮高考数学-第八章 进阶篇 圆锥曲线中的综合问题 进阶6 解析几何中的定直线问题.docx
进阶6解析几何中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数.
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
题型一点在定直线上
例1在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点坐标为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为π3
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上.
(1)解根据题意，设双曲线C的标准方程为x2a2－y2b2＝1
由题知a＝1，ba＝tanπ3＝3，可得
所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝
(2)证明易知T(2，0)为双曲线的右焦点，如图所示，
由题知直线l的斜率存在，
设斜率为k，则－3k3，
故直线l的方程为y＝k(x－2)，
代入双曲线方程得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，Δ0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝-4k
x1x2＝－4k
且x1≤－1，1≤x22，
设E(x0，y0)，点E在线段AB上，
所以x1x0x2，
由|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|可得
1＋k2(x0－x1)·1＋k2
＝1＋k2(x2－x0)·1＋k2(
化简得4x0－(2＋x0)(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
代入x1＋x2和x1x2并化简可得x0＝12
即存在点E满足条件，并且点E在定直线x＝12上
思维升华证明点在定直线上的一般方法
(1)联立方程消去参数.
(2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标.
(3)将横、纵坐标分别用参数表示，再消去参数.
(4)设点，对方程变形解得定直线.
跟踪训练1如图，在△ABC中，|BC|＝23，|AB|＋|AC|＝4，若以BC所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.设动顶点A(x，y).
(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)记第(1)问中所求轨迹为M，设D1(－2，0)，D2(2，0)，过点(1，0)作动直线l与曲线M交于P，Q两点(点P在x轴下方).求证：直线D1P与直线D2Q的交点E在一条定直线上.
(1)解由|AB|＋|AC|＝4|BC|＝23，
可知点A的轨迹为以B，C为焦点的椭圆(去掉(－2，0)，(2，0)两点)，且该椭圆的长轴长为2a＝4，a＝2，
该椭圆的焦距为2c＝23，c＝3，
即b＝a2-c
故顶点A的轨迹方程为x24＋y2＝1(y≠0
(2)证明直线l的方程可设为x＝my＋1，
联立x
消去x可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝4m2＋12(m2＋4)0显然成立，
设Q(x1，y1)，P(x2，y2)，y10，y20，
则y1＋y2＝－2mm2＋4，y1
即2my1y2＝3(y1＋y2)，
设直线D2Q：y＝y1x1-2(x
直线D1P：y＝y2x2＋2(
联立上述两方程，
消去y可得y1x1-2(x－2)＝y2x
y1x1-2x－y
y1(x2＋2)-y2(x1-2)x＝2y1(x2＋2
又x2＝my2＋1，x1＝my1＋1，
则y1(my2＋3)-y2(my1-1)x＝2y1(my2＋3)＋2y2(my1－1)，(3y1＋y2)x＝
由4my1y2＝6(y1＋y2)，
则(3y1＋y2)x＝6(y1＋y2)＋6y1－2y2
＝12y1＋4y2，3y1＋y2不恒为0，解得x＝4，
综上所述，交点E在定直线x＝4上.
题型二三角形内心(外心、重心、垂心)在定直线上
例2已知R是圆M：(x＋3)2＋y2＝8上的动点，点N(3，0)，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点P(－2，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请你给出结论并证明.
解(1)圆M的圆心坐标为M(－3，0)，半径r＝22，
因为MS∥NL，
所以△MSR∽△LNR，
又因为|MR|＝|MS|，
所以|LR|＝|LN|，
所以||LM|－|LN||＝||LM|－|LR||＝|MR|＝r＝2223＝|MN|，
所以点L在以M，N为焦点，22为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为x2a2－