第八章 进阶篇 圆锥曲线中的综合问题 进阶1 圆锥曲线中的综合问题 椭圆、双曲线中的常见结论及应用.docx
进阶篇圆锥曲线中的综合问题
进阶1椭圆、双曲线中的常见结论及应用
重点解读椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
题型一焦半径公式(第二定义)
例1(1)设F1，F2分别为椭圆C：x236＋y220＝1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2
答案(3，15)
解析方法一△MF1F2为等腰三角形，点M在第一象限?|MF1||MF2|，且|MF2|a＝6，
又|F1F2|＝8，所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x00，y00)，
则(x0
所以M(3，15).
方法二△MF1F2为等腰三角形，
点M在第一象限?|MF1||MF2|，且|MF2|a＝6，
又|F1F2|＝8，
所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x00，y00)，
由椭圆焦半径公式知|MF1|＝6＋23x0＝8
解得x0＝3，代入椭圆方程得y0＝15，
故M(3，15).
(2)双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝5，则△PF1F2的面积为
答案6或46
解析方法一由题意得a＝1，b＝3，c＝2，e＝2，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|2x0＋1|＝5，
解得x0＝2或x0＝－3，
当x0＝2时，代入双曲线方程可求得y0＝±3，
所以S△PF1F2＝12·|F1F2
当x0＝－3时，代入双曲线方程可求得y0＝±26，
所以S△PF1F2＝12·|F1F2|
综上所述，△PF1F2的面积为6或46.
方法二由题意得a＝1，b＝3，c＝2，
所以|F1F2|＝4，
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知
|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝3，
显然PF
所以PF2⊥F1F2，
从而S△PF1F2＝12·|PF2|·|F1F2|
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝7，
从而cos∠PF1F2＝PF1|
所以sin∠PF1F2＝1-cos
从而S△PF1F2＝12·|PF1|·|F1F
＝12×5×4×265＝
综上所述，△PF1F2的面积为6或46.
思维升华(1)如图1，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF
①|PF1|＝a＋ex0；②|PF2|＝a－ex0(记忆：左加右减).
(2)如图2，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF
①|PF1|＝|ex0＋a|；②|PF2|＝|ex0－a|(记忆：左加右减).
跟踪训练1(1)双曲线x22－y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝3|PF2|
答案(2，±2)
解析由题意得a＝b＝2，c＝2，e＝2，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|2x0＋2|，
|PF2|＝|2x0－2|，
因为|PF1|＝3|PF2|，
所以|2x0＋2|＝3|2x0－2|，
解得x0＝2或x0＝12
又|x0|≥2，所以x0＝2，
代入双曲线方程可求得y0＝±2，
即P(2，±2).
(2)椭圆x26＋y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF
答案[2，6]
解析由题意得a＝6，c＝2，e＝63
设P(x0，y0)，其中－6≤x0≤6，
则|PF1|＝6＋63x0，|PF2|＝6
所以|PF1|·|PF2|＝6－23x02，取值范围为[2
圆锥曲线的角度式焦半径公式
设P是圆锥曲线上任意一点，F为它的一个焦点，O为坐标原点，∠PFO＝θ，
(1)椭圆：|PF|＝b2
(2)双曲线：|PF|＝b2
记忆规律：同正异负.即当P与F位于虚轴的同侧时取正，否则取负.
(3)抛物线：|PF|＝p1
典例设F1，F2分别是双曲线C：5x2－4y2＝m2的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且满足AF2＝7F2B，则直线l
答案3或－3
解析如图，设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为
连接MF2，过点M作右准线x＝a2c的垂线MN，记∠MF2O＝
则由双曲线的第二定义知，
MF2|
整理得|MF2|＝b2
由双曲线C：5x2－4y