方程求根的迭代法.pptx

第四章方程求根的迭代法高次方程超越方程问题：设是实系数多项式或是任意实函数，求的 根，其中.定义按照一定规则（某个固定的计算公式）， 把解的近似值逐步精确化，直到满足实际问题的精 度要求.――――――――迭代法其基本思想如下：①将方程转化为等价方程迭代函数②取初值，用显示公式计算得数列③若，则计算停止，否则继续迭代.

012345610.50.6666660.60.6250.61538506176470.6181820.6179780.6180560.6180260.6180370.618033

记笔记由得表一：由表一知迭代收敛于的根.而由得表二：由表二知迭代是发散的51.375211.330681.325851.324931.3247511.52.37512.398…1.迭代函数如何构造？2.初值的选取3.误差估计（迭代结束的条件）例用迭代法求方程，在x=1.5附近的一个根

§1开方法记笔记k1.4142141.4142141.4142161.4666671.51Xk453210

记笔记

令，则由上式得对任意，总有，所以．定理1开方公式对于任意初值均收敛． 思考题 1．若，开方公式结果如何？ 2．证明对于任意，开方公式所得序列单调减有下界．k012345Xk121.751.7321431.7320511.732051

§2法－－－－迭代公式迭代函数1．是否收敛于方程的根或什么条件下收敛？2.迭代函数有什么特性？

牛顿迭代法的几何解释Newton法又称为Newton切线法或切线法

从几何的角度探讨牛顿迭代法的收敛性yx0x0f′′(x)0X*yx0x0f′′(x)0yx0f′′(x)0x0yx0f′′(x)0x0

x1y0x0X*0x0X*x2不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况从几何角度探讨牛顿迭代法的收敛性

牛顿迭代法的计算流程

例用牛顿迭代法求x=e-x的根,ε=10-5解：因f(x)=xex–1,f′(x)=ex(x+1) 建立迭代公式 取x0=0.5,逐次计算得x1=0.571021,x2=0.567156,x3=0.567143, x4=0.567143

求倒数，就是求解方程则相应的迭代公式思考题：1.讨论其收敛性及收敛条件讨论牛顿迭代法的收敛条件．，其法的迭代函数为

§3压缩映象原理如果由迭代格式产生的序列收敛,即则称迭代法收敛．－－－－－－结束条件

定理2设函数在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足（1）封闭性条件对所有的x∈[a,b]有∈[a,b]（2）压缩性条件存在0L1,使所有的x∈[a,b]有则方程在[a,b]上的根存在且唯一，对任意的∈[a,b]，迭代过程均收敛于.且成立①②压缩映象原理迭代结束的条件（事后误差估计法）满足精度要求的最大迭代次数（事先误差估计法）推论:若方程在区间内有根且则迭代均发散

例1对方程