椭圆方程迭代法介绍.doc

椭圆型问题的差分法 §3－1 流体力学中的椭圆型问题 ·无旋流场中 速度势 （Laplace Eq.） ·二维不可压定常流动，利用涡－流函数表示： ·不可压分离流问题中，扰动压力场： ·定常的N－S方程求解问题 ·在网格自动生成中，求解椭圆型方程的网格生成方法 由于椭圆型方程的数学性质：求解域内部任何一点的解函数依赖于所有边界上的边界条件，因此从数值计算方法来看，就不能从一部分边界起步进行推进计算到另外的边界，这与发展方程的求解方法有很大的差别，椭圆型方程的数值求解方法，只能是在整个流场中进行迭代计算来求解。 §3－2 椭圆型问题的迭代法求解 （一）迭代法的基本概念 例：方程 （ Poisson 方程） 二维 差分离散 ………………..(*) 写成矩阵形式代数方程组为： …………………………………….. (1) 其中 一般地，对于线性方程组有，欲求未知函数的解矢量 若为非奇异矩阵，即：，则 由于是个阶数甚大的矩阵（非三对角），直接求解，或利用Gauss消去法求逆矩阵，计算量及所需计算机的内存都将十分巨大，所以在实际计算中不希望采用直接法求解。 迭代法的基本思想是：定义一个序列，当时，，从而得到方程(1)的解。 迭代法设法给出的迭代关系。（通常为计算方便，迭代法采取，使之简单） 若（即迭代关系式）与迭代步k无关，则称为平稳迭代； 若是的线性函数关系，则称为线性迭代。 例如最简单的线性迭代关系可设为： ……………………… (2) 若迭代是有效的，则 即 …………………………(3) 即 且 或 研究迭代的收敛性： 引入误差： 而由(2)-(3)得： 即 或有递推关系式： 由于是初始解与精确解的误差，应是一个有界的任意函数，故迭代矩阵H应具有：当时，，Z为任意的有界向量函数。 可以证明：（参阅 “偏微分方程的有限差分方法”P239） 对于任意的向量Z，的充分必要条件是H的所有的特征值的绝对值（即谱半径）都小于1。 推论 当k很大时， 所以若，则迭代法的收敛速率很慢。 二、几种迭代法介绍 Jacobi迭代 (简单点迭代) 由方程 将矩阵分解为：A=L+D+U L：主对角线以下的元素 （ij时等于A，其余为零） D： 主对角线元素 U： 主对角线以上的元素 （ij时等于A，其余为零） , , H，M可以验证满足迭代有效性条件，即 2、Gauss-Seidel点迭代 类似1 但是 在实际计算中 中（ij）只要遵循已有新值时，用新值，没有新值时用旧值，即为G-S。 *往返扫描的Gauss-Seidel迭代，即 step1: step2: 3、SOR（逐点松弛迭代） step1. 用G－S迭代法求中间值，即 …………………………………(a) step2. …. …………………………….(b) 消去中间结果 即 将(a)代入 其中为松弛因此， 为亚松弛， 时为超松弛。 4、线迭代和线松弛迭代 将A分解为 但 保留主对角元素在D中，L，U则仍为余下元素的上三角与下三角矩阵 则导出线迭代 而导出线D－S迭代 *往返扫描的G－S线迭代（线松弛迭代） 而导出松弛迭代 三、迭代法的收敛性及松弛因子的选择 迭代法收敛的几个充分条件 对于方程 若矩阵A满足强对角优势条件，则Jacobi迭代和G－S迭代均收敛 若矩阵A满足对角占优条件，且矩阵A为不可约矩阵，则Jacobi迭代和G－S迭代均收敛 若矩阵A是对称正定矩阵，则G－S迭代收敛。 若且有 则Jacobi，G –S迭代收敛 若对于 Jacobi迭代收敛的，则的松弛迭代也总是收敛的。 只证明①（余略） A为强对角占优，及 A的每一行元素均用该行的主对角线元素去除，可得到主对角元素为1，且不改变将对角占优的性质， 分解为 ， 且有： 对于Jacobi迭代， 即 利用矩阵的特征值分布定理(Gerschgorin圆盘定理)，可知的所有特征值均在单位圆内，证毕！ 2、对于Poisson方程Jacobi迭代矩阵的特征分析 结论：1、Jacobi迭代矩阵的特征值为：（参考苏煜诚，吴启光，偏微分方程数值解） x方向总网格数为s+1(0,1,2,…,s)，0,s为边界 y方向总网格数为l+1(0,1,2,…,l)，0,l为边界 2、逐点松弛迭代法中迭代矩阵的特征值（G－S或SOR） 由 设的