4.1方程求根的迭代法.ppt

迭代法是一种逐次逼近法，指使用迭代公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直至得出满足精度要求的结果 迭代法的求解过程 提供根的猜测值—迭代初值 将迭代初值逐步加工成满足精度要求的根 证明: * 第四章 方程求根的迭代法 第四章 方程求根的迭代法 非线性方程的解法 对分区间法 简单迭代法 3 1 2 3 3 4 Newton法与弦截法 迭代过程加速 对分区间法 第一节 对分区间法 一般理论 二分区间法的理论与分析 引言 1 2 3 本章研究对象 引 言 方程是在科学研究中不可缺少的工具，方程求解 是科学计算中一个重要的研究对象 几百年前就已经找到 了代数方程中二次至 五次方程的求解公式 但是,对于更高次数 的代数方程目前仍 无有效的精确解法 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法 因此,研究非线性方程的数值解法成为必然 一般提法与结论 一般提法与结论 二、区间二分法 区间二分法 区间二分法 区间二分法 例1 解（二分法） 如此二分下去即可。现估计二分次数 所以二分6次可达到要求。 区间二分法例题 优点： 区间二分法分析 区间二分法的分析 对函数要求低，计算简单; 缺点： 收敛慢且对有偶数重根的情况不适合。 简单迭代法 第二节 简单迭代法 迭代法的几何意义 迭代法的收敛定理 基本概念 迭代法的局部收敛性 1 2 3 4 5 迭代法的收敛速度 基本思想 构造一个同解方程，以求得近似根。 即由方程f(x)=0变换为其等价形式x=?(x),?(x)称 为迭代函数（设其为连续函数） 一、迭代法的设计思想 当给定初值x0 后, 由迭代格式可求得数列{xk}。迭代值 xk有极限，则称迭代收敛。如果{xk}收敛于x*，则它就 是原方程的根。因为： 基本概念 然后建立迭代格式 设计思想 将方程的求根问题归结为计算一组显式公式 ，迭代过程实质上是一个逐步显式化的过程 ) ( 1 k k x x j = + (1)不动点迭代法： 按上述方法构造迭代格式来求解方程的方法称为 简单迭代法或逐次迭代法。 基本概念 基本概念 迭代法的几何意义 几何意义 迭代法的几何意义 设方程改写成下列形式 据此建立迭代公式 求方程 例2 解（迭代法） 简单迭代法例题 迭代函数满足什么条件时，迭代格式收敛 为使迭代有效，必须保证迭代得到的序列是收敛的，如果不收敛则毫无价值 二、压缩映像原理 保证迭代收敛的充分必要条件是 定理1 简单迭代法收敛条件 证明 压缩映像原理 压缩映像原理 压缩映像原理 说明 1.条件1°说明不动点的存在性 2.只要相邻两次的迭代值的偏差足够的小，即可保证 迭代值xk+1足够准确，用|xk+1-xk|控制迭代过程是否结束 3.L越小，收敛越快 迭代法的优点 逻辑结构简单 4.[a,b]较大时，一般不满足条件，一般在根的附近 使用迭代法 简单迭代法实现步骤 求方程 例3 压缩影响原理应用的例题