第四章-方程求根的迭代法.ppt

本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解代数方程，也可以用来解超越方程，并且仅限于求方程的实根。 运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题： 确定根的初值; 将进一步精确化到所需要的精度。 4.1 二分法 4.1.1确定有根区间的方法 为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数 相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无 解，并没有什么固定的圈根方法。 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。 由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)0 , 则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。 (1) 画图法 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。 也可将f (x) = 0分解为?1(x)= ?2(x)的形式，?1(x) 与 ?2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根 区间。 例如 xlogx-1= 0 可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内 (1) 画图法 例4.1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解：用试凑的方法，不难发现 f(0)0 f(2)0 在区间（0，2）内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 搜索,列表如下 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h。 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量 又不太大。 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的 基础上采用对分法继续缩小该含根子区间。 二分法可以看作是搜索法的一种改进。 4.3 迭代法 4.4 牛顿迭代法 2.4.3 牛顿迭代法的收敛性 例4.11 用牛顿迭代法求 x=e-x的根,ε=10-4 解：因 f (xk)= x ex –1 , f ′(xk)=ex ( x+1) 建立迭代公式 ∵ ∴ 即 ① 得证。 即 ② 得证。 迭代法的算法框图 例4.4 对方程 ,构造收敛的迭代格式, 求其最小正根,计算过程保留4位小数。 解 容易判断[1,2]是方程的有根区间, 且在此区间 内 ,所以此方程在区间[1,2]有 且仅有一根。将原方程改写成以下两种等价形式。 ① ,即 不满足收敛条件。 ② ,即 此时迭代公式满足迭代收敛条件。 4.3.5 局部收敛性 当迭代函数较复杂时,通常只能设法使迭代过程在根的邻域(局部)收敛。 定理4.2 设 在 的根 的邻域中有连续的一阶导数,且 则迭代过程 具有局部收敛性。 证: 由于 ,存在充分小邻域△: ,使成立 这里L为某个定数, 根据微分中值定理 由于 ,又当 时 ,故有 由定理4.1知 对于任意的 都收敛 例4.5 设 ,要使迭代过程 局部收敛到 ,求 的取值范围。 解： 由在根 邻域具有局部收敛性时, 收敛条件 所以 例4.6 已知方程 在 内有根 ,且在 上满足 ,利用