数值分析课件--第四章解非线性方程的迭代法-公开课件（讲义）.ppt

练习题 第102页 习题4 4-1, 4-3, 4-4, 4-5, 4-7, 4-8, 练习题 第102页 习题4 4-10，4-12, 4-13, 课间休息 谢谢！ 第4章 解非线性方程的迭代法 本章讨论求非线性方程 ?(x)=0 (4.1) 的根的问题. 其中?(x)是高次多项式函数或超越函数.如 ?(x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 ?(x)=e2x+1-xln(sinx)-2 等等. §1 二 分 法 设?(x)在区间[a,b]上连续且?(a)?(b)0,根据连续函数的介值定理,区间[a,b]上必有方程?(x)=0的根,称[a,b]为方程?(x)=0的有根区间. ,得到新的有根区间[a1,b1], 设?(x)在区间[a,b]上连续且?(a)?(b)0 . 0 a b ? y x y=?(x) 记a0=a,b0=b,计算 若|?(x0)|? ,则取??x0 ;否则,若?(a0)?(x0)0,取a1=a0,b1=x0 ;若?(a0)?(x0)0,取a1=x0,b1=b0 而且有根区间[a1,b1]长度是有根区间[a0,b0]长度的一半, x0 再对有根区间[a1,b1]重复上面运算, 即: 计算 若|?(x1)|?, 则取??x1; 否则,若?(a1)?(x1)0,取a2=a1 , b2=x1 ;若?(a1)?(x1)0, 取a2=x1 ,b2=b1,得到新的有根区间[a2,b2]. x1 而且有根区间[a2,b2]长度是有根区间[a1,b1]长度的一半.一直进行下去,直到求出有根区间[ak,bk]. 此时,再计算 或者有|?(xk)|? ,或者有 可见,k趋向无穷大时,xk收敛于? . 而且,若要|xk-?|? ,只要 此时可取近似根??xk . 在计算过程中,若出现|?(xk)|?1,或bk-ak?2 .则可取xk作为方程?(x)=0的近似根,终止运算. 例1 用二分法求x3+4x-10=0在区间[1,2]内根的近似值,并估计误差. 解 这里?(x)=x3+4x-7， ?(1)?(2)=-180,而且 ??(x)=3x2+40,所以?(x)=0在[1,2]区间有唯一根. 取x0=1.5,由于?(x0)=2.375,得新有根区间[1,1.5], x1=1.25,由于?(x1)=-0.0468,得新有根区间[1.25,1.5], x2=1.375,由于?(x2)=1.0996,得新有根区间[1.25,1.375], x3=1.3125,由于?(x3)=0.511,得新有根区间[1.25,1.3125], …………………………………………………. x9=1.254882813,得有根区间[1.254882813,1.255859375], x10=1.255371094, ?(x10)=-0.000105285 取??x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有 只需k5ln210-1?15.61.即需取??x16. 如果取精度?=10-5,则要使 二分法要求函数在区间[a，b]上连续，且在区间两端点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。但是，若方程?(x)=0在区间[a，b]上根多于1个时，也只能求出其中的一个根。另外，若方程?(x)=0在区间[a，b]有重根时，也未必满足?(a)?(b)0. 而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值. §2.1 简单迭代法的一般形式 §2 简 单 迭 代 法 首先把方程?(x)=0改写成等价(同解)形式 x=?(x) (4.2) 得到迭代序列{xk} , 如果xk?? ,则有?=?(?), 即?是方程?(x)=0的根. 取一个合适的初始值x0,然后作迭代 xk+1=?(xk) , k=0,1,2,… (4.3) 这种求方程根的方法称为简单迭代法,或