二重积分的概念及性质课件.ppt

解法2也可先對x積分，作平行於x軸的直線與區域D相交，沿x軸正向看，入口曲線為x=0，作為積分下限，出口曲線為，作為積分上限.積分區域D在y軸上投影區間為[0,2]，這個結果與我們熟知的四面體的體積是一致的.例2計算積分，其中D是正方形區域：解像這樣的正方形區域可以不必畫，即得例3計算積分，其中D是由y=x，y=0和所圍成的三角形區域.解法1先對y積分.作平行於y軸的直線與積分區域D相交，沿著y的正方向看，入口曲線為y=0，出口曲線為y=x，D在x軸上的投影區間為.解法2先對x積分.作平行於x軸的直線與積分區域D相交，沿x軸的正方向看，入口曲線為x=y，出口曲線為.D在y軸上的投影區間為.故例4計算積分，其中D由y≥0確定.解法1先對y積分，作平行於y軸的直線與區域D相交，沿著y軸正方向看，入口曲線y=0；出口曲線為，因此解法2先對x積分.作平行於x軸的直線與區域D相交，沿著y軸正方向看，入口曲線為，出口曲線為，因此比較兩種解法可知，解法1比解法2簡便些.說明將二重積分化為二次積分時，應注意選擇積分次序.例5計算積分，其中D是由不等式：所確定的長方形區域.解這題可以不必畫積區域.分析被積函數可知，如先對x積分，需用分部積分法.如先對y積分則不必，計算會簡單些.因此，我們選擇先對y積分，即例6計算，其中D由不等式及所確定.解法1化為先對y積分後對x積分的二次積分.作平行於y軸的直線與區域D相交，沿y軸正方向看，入口曲線為，出口曲線為y=x，因此x軸上的積分區間為[1,2].解法2化為先對x積分後對y積分的二次積分.作平行於x軸的直線與積分區域D相交，可知入口曲線不唯一，這需要將積分區域分為兩個子區域.在y軸上的積分區間為當時，平行於x軸的直線與區域D相交時，沿x軸正方向看，入口曲線為，出口曲線為x=2.當時，平行於x軸的直線與區域D相交時,沿x軸正方向看，入口曲線為x=y，出口曲線為x=2.顯然解法1較簡便.因此選擇積分次序是將二重積分化為二次積分的重要問題.例7計算積分，其中區域D由直線y=x，y=0與x=1圍成的區域.解由不定積分可知不能用初等函數表示出來，因此，所給積分不能化為先對x積分後對y積分的積分次序.欲化為先對y積分後對x積分的二次積分.作平行於y軸的直線與區域D相交，沿y軸正方向看，入口曲線為y=0，出口曲線為y=x，因此將積分區域D投影到x軸上，投影區間為[0,1].故例8計算二次積分解由不定積分可知其被積函數的原函數不能用初等函數表示，因此依題中所給積分次序不能計算出此二重積分.對此類問題常考慮採用交換積分次序的方法來解決.其一般步驟為：(1)先依給定的二次積分限，定出積分區域D的範圍，並依此作出D的圖形.(2)再依區域D的圖形，依前述確定積分限的方法，確定出另一種積分次序的積分限.由給定的積分限可知積分區域D的範圍為依上述不等式組可作出區域D的圖形，再化為先對y積分後對x積分的二次積分.例8通常又稱為交換二重積分次序問題.例9交換二次積分的符號分次序.解所給積分由兩部分組成，設它們的積分區域分別為D1與D2.先依給定的積分限將積分區域Di用不等式表示：如果轉換為先對y積分，後對x積分，只需作平行於y軸的直線與區域D相交，沿y軸正方向看，入口曲線為y=x，出口曲線為y=2–x，因