10.1二重积分的概念及性质.ppt

第一节 二重积分的概念与性质 * 第十章 重积分 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 引言 推广 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 特点：平顶. 1)曲顶柱体的体积 一、二重积分的概念 柱体体积=底面积╳ 高 1.两个实例 曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶. 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想: “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示． y 步骤如下： 1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分 为 n 个小曲顶柱体 2)“近似代替” 在每个 则 中任取一点 3)“求和” y 4)“取极限” 令 o 2) 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 不是常数 , 仍可用 其面密 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . o 2)“近似代替” 中任取一点 3)“求和” 4)“取极限” 则第 i 小块的质量 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 2. 二重积分的定义 定义 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若极限 的二重积分. 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 存在, 记 即 被积函数 积分区域 积分变量 面积元素 被积表达式 积分和 曲顶柱体体积: 平面薄板的质量: 1.二重积分存在充分条件 函数 在D上可积. 在有界闭区域 D上连续 说明 2. 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. 3. 二重积分的几何意义 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 负值． 用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 故二重积分可写为 D 则面积元素为 直角坐标系下二重积分的形式 二、二重积分的性质 下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积. 性质1 线性性质 性质2 区域可加性 D D1 D2 性质3 性质4 ? 为D 的面积, 则 特别, 由于 则 若在D上 性质5 估值性质 性质6 (二重积分的中值定理) 证明 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 使 因此 例1 比较下列积分的大小: 其中 解 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 o 1 2 3 x 1 y 例2 (1,0),(1,1) (2,0). 解 例3 估计二重积分的值 解 在D上， 由性质6 所以 例4 解 估计二重积分值估计关键是确定被积函数在 估计积分 的值， . 其中D是矩形域 所以 又 由性质6 说明 D积分域上的最大值和最小值. (最大值） （最小值） 在区域 D上，由于 作业： P136 习题10-1 4.(1)(4) 5.(1) * * *