6.7二重积分的概念和性质.doc

第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解  PAGE 5 1．利用二重积分定义证明：。 【证明】由二重积分定义，得 ， 证毕。 2．利用二重积分的几何意义说明：（为常数，为积分区域的面积）。 【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分就是以为曲顶的柱体体积， 于是知，二重积分表示以平面为顶的柱体体积， 而以平面为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高， 但该柱体的底面积就是积分区域的面积， 从而得，。 3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴，其中积分区域； 【解】由于区域，可知区域的面积为， 而由于，，可得，， 从而有， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 亦即为 。 ⑵，其中积分区域； 【解】由于区域，可知区域的面积为， 而由于，，可得， 从而， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 亦即为 ，整理得。 ⑶，其中积分区域。 【解】由于区域，可知区域的面积为， 下面求函数在条件下的最大、最小值， 亦即椭圆抛物面在圆柱内部的最大、最小值， 易见，可知，当时等号成立， 又可知，椭圆抛物面与圆柱的交线，在椭圆簇的短轴上达到最高，亦即当，时，函数取得最大值，最大值为， 因此得，， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 亦即为 ， 整理得 。 4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴与，其中积分区域D由轴，轴与直线所围成。 【解】积分区域D如图 由图可见，在区域D中，，于是由于函数（）是减函数，而知以为底的指数函数是增函数，即由有， 于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得。 ⑵与，其中。 【解】积分区域D如图 由于在区域D中有，，可得， 于是， 于是由于函数（）是增函数，可知以为底的指数函数是增函数， 即由得， 于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得。 5．若，则积分区域D可以是（ ）。 （A）由轴，轴与直线所围成的区域； （B）由，及，所围成的区域； （C）由，所围成的区域； （D）由，所围成的区域。 【解】应填“（C）”。因为，而下面各区域D的面积为： （A）由轴，轴与直线所围???的区域如图 得； （B）由，及，所围成的区域如图 得； （C）由，所围成的区域如图 得； 至此，可以终止判断了。事实上有： （D）由，所围成的区域如图 得。