3.1--二重积分的概念和性质.pdf

第 1 节课 二重积分引入 定积分的定义 设函数 f (x)在有界闭区间 [a,b]上有定义, 且有界，若： （1 ）任意分割区间[a,b] ：取点列 ： x ,x ,,x 0 1 n a x  x   x b 0 1 n 记 x x x ,  maxx ； i i i1 i i  x ,x  （2 ）任取 i i1 i ； n S f ( )x （3 ）作和式 n  i i ； i 1 n limS lim f ( )x （4 ）若极限0 n 0  i i 存在； i 1 （5 ）极限值与区间[a,b]分割的任意性和 x ,x 取值的任意性无关, 则称函数 f (x) i i1 i n 在区间 [a,b]上可积, 该极限值 limS lim f ( )x 称为函数 f (x)在区间 [a,b]上的 0 n 0  i i i 1 定积分，记作 b n f (x)dx lim f ( )xi i a 0  i 1 2 z f (x,y),(x,y)D D 例：设 D   为有界闭集，二元函数 为定义在集合 上的 有界函数（不仿假设 f (x,y)0,(x,y)D ）。求以平面 为底，曲面 z f (x,y) z 0 为顶的曲顶柱体 (x,y,z)0z  f (x,y),(x,y)D的体积（如下图）