高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc
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第五章二次型
1．用非退化线性替换化以下二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1〕；
2〕；
3〕；
4〕；
5〕；
6〕；
7〕。
解1〕，
先作非退化线性替换
〔1〕
那么
，
再作非退化线性替换
〔2〕
那么原二次型的标准形为
，
最后将〔2〕代入〔1〕，可得非退化线性替换为
〔3〕
于是相应的替换矩阵为
，
且有
。
2〕，
由配方法可得
，
于是可令
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
〔3〕，
由配方法可得
，
于是可令
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
〔4〕，
先作非退化线性替换
，
那么
，
再作非退化线性替换
，
那么
，
再令
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
〔5〕，
先作非退化线性替换
，
那么
，
再作非退化线性替换
，
即
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
〔6〕
，
由配方法可得
，
于是可令
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
故替换矩阵为
，
且有
。
〔7〕，
由配方法可得
，
于是可令
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
〔Ⅱ〕把上述二次型进一步化为标准形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解1〕已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，假设作非退化线性替换
，
可得二次型的标准形为
。
在复数域上，
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