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《高等代数》第三版习题答案(北大版)
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高等代数北大版第三版习题答案I.doc
高等代数（北大*第三版）答案
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第一章 多项式
第二章 行列式
第三章 线性方程组
第四章 矩阵
第五章 二次型
第六章 线性空间
第七章 线性变换
第八章 —矩阵
第九章 欧氏空间
第十章 双线性函数与辛空间
注：
答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！
第一章 多项式
用除，求商与余式：
1）；
2）。
解 1）由带余除法，可得；
2）同理可得。
2．适合什么条件时，有
1），
2）。
解 1）由假设，所得余式为0，即，
所以当时有。
2）类似可得，于是当时，代入（2）可得；而当时，代入
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高等代数北大第三版1。5课件.ppt
* 一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理 因式分解与多项式系数所在数域有关 如： （在有理数域上） 问题的引入 （在实数域上） （在复数域上） 设 ，且 ，若 不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的 Def. 乘积，则称 为数域P上的不可约多项式. Remark ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式 ③ 多项式 不可约 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. 或
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高等代数北大第三版1。4课件.ppt
* 一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式 i) 1．公因式: 若 满足: 且 2．最大公因式: 若 满足： ii) 若 ， 且 ，则 则称 为 的最大公因式． 则称 为 的公因式． 一、公因式 最大公因式 ① 的首项系数为1的最大公因式记作: 注： ② ， 是 与零多项式0的最 大公因式． ③ 两个零多项式的最大公
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高等代数（北大版）第5-7章_习题答案.pdf
高等代数（北大版）第5-7章_习题答案
第五章二次型
1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1) - 4匹42 + 2 不/+ 2 々巧；
2) 1 + 2玉*2 + 2*； + 缶巧 + 4宕；
3)d- 3 考_ 24 1%2 + -6七七；
4) 8万与+2/匕+2%2/+8为匕；
6 ）片 + 2君 + d + 4/*2 + 4/与 + 2 *[七 + 2*2/ + 2*2Z + 2巧居；
7 ）/+考+ *；+其 + 2%乙 + 242巧 + 2巧Z。
解
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高等代数(第三版)4-习题课..ppt
一、主要内容 典 型 例 题 一、矩阵的运算 二、矩阵乘积的秩与逆矩阵 三、矩阵的分块运算 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵. 初等矩阵的性质 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的． ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等． 9 等价矩阵 定义 注： 1) 定理5 任一 矩阵 A 都与一形式为 矩阵等价的有关结论 的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数 等于R(A)(1的个数可以是零). 2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵 使 3) n 级方阵A可逆 A的标准形为单位矩阵E. A
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高等代数 第三版 10-习题课.docx
高等代数 第三版 10-习题课
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高等代数 课程教案
授课题目（教学章节或主题）： 授课类型
授课时间理论课 第十章 双线性函数与辛空间(习题课)
教学目标或要求：
第十章 双线性函数与辛空间(小结)
线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基.
1. 设V 是P 上一个n 维线性空间，ε1, ε2, , εn 是V 的一组基，a 1, a 2, , a n 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上
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高等代数(北大版)第6章习题参考 答案.doc
第六章 线性空间
1.设证明：。
证 任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪 一种情形，都有此即。但所以。
2.证明，。
证 则在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，则 在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故
于是。
若。
在前一情形X， 。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加
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高等代数(北大版)第7章习题参考 答案.doc
第七章 线性变换
1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）? 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；
2）? 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；
3）? 在P中，A；
4）? 在P中，A；
5）? 在P[]中，A ；
6）? 在P[]中，A其中P是一固定的数；
7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A。
8）? 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.
解 1)当时,是;当时,不是。
2)当时,是;当时,不是。
3)不是.例如当,时,A, A,
A A(。
4)是.因取,有
A= A
=
=
=
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高等代数(北大版)第4章习题参考答案.doc
第四章矩阵
1.设1〕，2〕，
计算，。
解1〕，
2〕
，
其中
，，
，，
，，
，
，
解。
。
采用数学归纳法，可证
。
事实上，当时，有
，
结论成立。
当时，归纳假设结论成立，即
于是当时，有
，
即证成立。
4〕采用数学归纳法，可证
，
事实上，当时，有
，
结论成立。
当时，归纳假设结论成立，即
，
于是当时，有
，
其中
，
同理可得
，，，
因而有
。
5〕，。
6〕
。
7〕注意到
，
这意味着，假设令
，
那么.下面对
分两种情形讨论
①为偶数，即，于是
，
②为奇数，即，于是
，
故
。
8〕采用数学归纳法，可证
，
事实上，当时，结论显然成立，现在归纳假设
，
于是
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高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc
第五章二次型
1．用非退化线性替换化以下二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1〕；
2〕；
3〕；
4〕；
5〕；
6〕；
7〕。
解1〕，
先作非退化线性替换
〔1〕
那么
，
再作非退化线性替换
〔2〕
那么原二次型的标准形为
，
最后将〔2〕代入〔1〕，可得非退化线性替换为
〔3〕
于是相应的替换矩阵为
，
且有
。
2〕，
由配方法可得
，
于是可令
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
〔3〕，
由配方法可得
，
于是可令
，
那么原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
〔4〕，
先作非退
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高等代数(北大版)第4章习题参考答案.doc
第四章 矩阵
1.设1），2），
计算，。
解 1）
2）
， ，
， ，
， ，
2.计算
，
解 。
。
采用数学归纳法，可证
。
事实上，当时，有
，
结论成立。
当时，归纳假设结论成立，即
时，有
成立4）采用数学归纳法，可证
时，有
时，归纳假设结论成
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《高等代数学》第三版课后习题答案（复旦大学）.pdf
《高等代数学》第三版课后习题答案（复旦大学）
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高等代数(第三版)1.9..ppt
一、本原多项式 二、整系数多项式有理根的求法 小结 第一章 多项式 * 一、本原多项式 二、整系数多项式有理根的求法 三、有理系数不可约多项式 定理10 (高斯引理) 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式. 证 设给了两个本原多项式 并且设 如果 不是本原多项式, 那么一定存在一个 素数p , 它能整除所有系数 若是一个整系数多项式f (x)的系数互素, 那么f (x)叫作一个本原多项式. 由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)的所有系数,也不能整除g (x)的所有系数.令 各是f (x)和g (x)的第一个不能被p 整除的系数
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高等代数(第三版)8.2..ppt
* * * 一、 λ－矩阵的初等变换 三、 等价λ－矩阵 二、 λ－矩阵的初等矩阵 四、 λ－矩阵的对角化 λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ； 是一个多项式. ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍， 一、λ－矩阵的初等变换 定义： 代表第 行乘以非零数 c ； 代表把第 行(列)的 倍加到第 为了书写的方便，我们采用以下记号 代表 两行(列)互换； 注： 行(列). 将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵. 二、λ－矩阵的初等矩阵 定义： 注：
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高等代数(第三版)1.2.ppt
1、认识多项式 2、相等多项式 3、多项式的次数 4、多项式的运算 多项式的加法 多项式的乘法 给定数域P上两个多项式 多项式的减法 5、多项式加法和乘法的运算规则 6、 多项式的运算性质 证: 第一章 多项式 * 令P是一个数域，n是非负整数，形式表达式 一元多项式常用符号 来表示. 1：在多项式(1)中, 叫做零次项或常数项, 叫做 i 次项, 叫做 i 次项的系数. 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是 某一个i次项的系数是1 ，那么这个系数可以省略不写。 其中