高等代数北大第三版1。4课件.ppt

* 一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式 i) 1．公因式: 若 满足: 且 2．最大公因式: 若 满足： ii) 若 ， 且 ，则 则称 为 的最大公因式． 则称 　 为 　　　　 的公因式． 一、公因式 最大公因式 ① 的首项系数为1的最大公因式记作: 注： ② ， 是 与零多项式0的最 大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0． ④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大 公因式是唯一的. 若 为 的最大公因式，则 ，c为非零常数． 若 不全为零，则 二、最大公因式的存在性与求法 若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． 引理： 定理2　对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ． 若 有一为0，如 ，则 就是一个最大公因式．且 考虑一般情形： 用 除 得： 其中 或 . 若 ，用 除 ，得： 证： 若 ，用 除 ，得 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 其中　 或 ． 即 于是我们有一串等式 从而有 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去 再并项就得到 说明: ① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为 辗转相除法． ② 定理２中最大公因式 中的 不唯一. ③ 对于 ， 使 ,但是 未必是 的最大公因式. 如: ，则　 取　 ，有 取　 ，也有 取　 ,也有 成立． 事实上,若 则对 ，　 ④ 若 ，且 则 为 的最公因式． 设 为 的任一公因式，则 证： 从而 即 ∴ 为 的最大公因式． 例1 求 ，并求 使 解: 且由 得 例2. 设 求 ，并求 使 因式，即 就可以)，这是因为 　 和 具有完全相同的 若仅求 ，为了避免辗转相除时出现 注: 分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始 为非零常数． *