高等代数(北大版)第7章习题参考 答案.doc

第七章 线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量； 2）? 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量； 3）? 在P中，A； 4）? 在P中，A； 5）? 在P[]中，A ； 6）? 在P[]中，A其中P是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A。 8）? 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵. 解 1)当时,是;当时,不是。 2)当时,是;当时,不是。 3)不是.例如当,时,A, A, A A(。 4)是.因取,有 A= A = = = A+ A， A A = A， 故A是P上的线性变换。 5) 是.因任取,并令 则 A= A===A+ A， 再令则A AA， 故A为上的线性变换。 6)是.因任取则. A=AA， AA。 7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)kA(a)。 8)是，因任取二矩阵，则A(A+A， A(k)=A，故A是上的线性变换。 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A=B=C=E,ABBA,AB=BA，并检验(AB)=AB是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 因为 Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)， Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z), Ca=(x,y,z)， 所以A=B=C=E。 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以ABBA。 3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以AB=BA。 4)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB)AB。 3.在P[x] 中，AB，证明:AB-BA=E。 证 任取P[x]，则有 (AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-= 所以 AB-BA=E。 4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AB-BA=A (k1)。 证 采用数学归纳法。当k=2时 AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。 归纳假设时结论成立，即AB-BA=A。则当时，有 AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。 即时结论成立.故对一切结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。 证 设A是可逆变换，它的逆变换为A。 若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A，有a=b，这与条件矛盾。 其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令Ab=a即可。因此,A是一个双射。 6.设,,,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关。 证 因A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A， 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关，故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵: 第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵； [o; ,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影，求A,B,AB在基,下的矩阵； 在空间P[x]中，设变换A为， 试求A在基= (I=1,2,,n-1)下的矩阵A； 六个函数 =ecos,=esin，=ecos,=esin， =ecos,=esin，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基(i=1,2,,6)下的矩阵； 已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是，求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵； 在P中，A定义如下： ， 其中 ， 求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵； 同上，求A在,,下的矩阵。 解 1) A=(2,0,1)=2+，A=